Ejercicio 13 de ecuaciones diferenciales

Resolvamos paso a paso la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

$$ y' + y = x $$

Esta ecuación ya se encuentra en la forma estándar y' + a(x)y = b(x), donde \( a(x) = 1 \) y \( b(x) = x \).

Para hallar su solución general utilizaremos el método de Lagrange, una técnica muy utilizada para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La fórmula general es:

$$ y = e^{-\int a(x) \, dx} \cdot \left[ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \, dx} \, dx + c \right] $$

Sustituyendo los valores \( a(x) = 1 \) y \( b(x) = x \), obtenemos:

$$ y = e^{-\int 1 \, dx} \cdot \left[ \int x \cdot e^{\int 1 \, dx} \, dx + c \right] $$

Como la integral de 1 es \( x \), la expresión queda:

$$ y = e^{-x} \cdot \left[ \int x \cdot e^x \, dx + c \right] $$

Ahora debemos calcular la integral \( \int x \cdot e^x \, dx \). Para ello aplicamos el método de integración por partes, utilizando la identidad:

$$ \int f \, g' = f \, g - \int f' \, g $$

Tomamos \( f = x \) y \( g' = e^x \). Entonces:

$$ \int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx $$

es decir,

$$ \int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int e^x \, dx $$

Como \( \int e^x \, dx = e^x \), obtenemos:

$$ y = e^{-x} \cdot \left[ x \cdot e^x - e^x + c \right] $$

Distribuimos ahora el factor \( e^{-x} \) en cada término:

$$ y = e^{-x} \cdot x \cdot e^x - e^{-x} \cdot e^x + c \cdot e^{-x} $$

Dado que \( e^{-x} \cdot e^x = 1 \), la expresión se simplifica a:

$$ y = x - 1 + c \cdot e^{-x} $$

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:

$$ y = x + c \cdot e^{-x} - 1 $$

Con este ejemplo puede verse cómo el método de Lagrange permite transformar una ecuación diferencial lineal en una serie de operaciones algebraicas e integrales relativamente sencillas. El mismo procedimiento puede aplicarse a muchas otras ecuaciones diferenciales de primer orden con una estructura similar.