Ecuación diferencial y'' + y = 0: solución paso a paso
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
$$ y''+y=0 $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes a=1, b=0, c=1.
Para hallar su solución, comenzamos planteando la ecuación característica mediante la variable auxiliar t:
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
Sustituimos los coeficientes de nuestra ecuación:
$$ 1 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 1 = 0 $$
$$ t^2 + 1 = 0 $$
A continuación, resolvemos la ecuación característica:
$$ t^2 = -1 $$
$$ \sqrt{t^2} = \sqrt{-1} $$
$$ t = \pm \sqrt{-1} $$
En este caso, el discriminante es negativo, por lo que la ecuación característica no tiene raíces reales.
Para expresar sus soluciones, debemos recurrir a los números complejos.
Recordemos que la unidad imaginaria i se define mediante la relación i2 = -1.
Por tanto:
$$ t = \pm \sqrt{i^2} $$
$$ t = \pm i $$
Las soluciones de la ecuación característica son, por tanto, dos raíces complejas conjugadas puramente imaginarias. Estas raíces pueden escribirse en la forma α±iβ:
$$ t = \pm i = \begin{cases} t_1 = -i \\ \\ t_2 = +i \end{cases} $$
En nuestro caso, la parte real es α = 0 y el coeficiente de la parte imaginaria es β = 1.
Cuando la ecuación característica presenta dos raíces complejas conjugadas de la forma α±iβ, la solución general real de la ecuación diferencial viene dada por:
$$ y = c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x) $$
Sustituimos ahora α = 0 y β = 1:
$$ y = c_1 e^{0 \cdot x} \cos(1 \cdot x) + c_2 e^{0 \cdot x} \sin(1 \cdot x) $$
Como e0 = 1, la expresión se simplifica:
$$ y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) $$
donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
Así obtenemos una solución formada por una combinación lineal de las funciones seno y coseno, característica de este tipo de ecuaciones diferenciales con raíces complejas puramente imaginarias.
