Ejercicio 14: ecuación diferencial de variables separables
Resolvamos la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
$$ 3y^2y' = x+1 $$
El primer paso consiste en despejar la derivada \( y' \). Suponemos inicialmente que \( y \neq 0 \):
$$ \frac{3y^2y'}{3y^2} = \frac{x+1}{3y^2} $$
$$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$
De este modo, la ecuación adopta la forma \( y' = f(x)g(y) \), donde:
$$ f(x)=\frac{x+1}{3}, \qquad g(y)=\frac{1}{y^2} $$
Al estar escrita como el producto de una función de \( x \) y otra de \( y \), se trata de una ecuación diferencial de variables separables. Por tanto, puede resolverse mediante el método de separación de variables.
Partimos de:
$$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$
Sustituimos \( y' \) por \( \frac{dy}{dx} \):
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{3y^2} $$
Multiplicamos ambos miembros por \( dx \):
$$ dy = \frac{x+1}{3y^2}\,dx $$
Ahora separamos las variables, dejando todos los términos con \( y \) en un miembro y los que contienen \( x \) en el otro:
$$ 3y^2\,dy = (x+1)\,dx $$
Una vez separadas las variables, integramos ambos miembros:
$$ \int 3y^2\,dy = \int (x+1)\,dx $$
$$ 3\cdot\int y^2\,dy = \int (x+1)\,dx $$
La primitiva de \( x+1 \) es:
$$ \frac{x^2}{2}+x+C $$
Por tanto:
$$ 3\cdot\int y^2\,dy = \frac{x^2}{2}+x+C $$
La primitiva de \( y^2 \) es:
$$ \frac{y^3}{3} $$
Sustituyendo este resultado:
$$ 3\cdot\frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2}+x+C $$
Simplificando:
$$ y^3 = \frac{x^2}{2}+x+C $$
Para despejar la incógnita, tomamos la raíz cúbica de ambos miembros:
$$ \sqrt[3]{y^3} = \sqrt[3]{\frac{x^2}{2}+x+C} $$
Así obtenemos la solución general:
$$ y(x)=\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}+x+C} $$
Antes de dar por terminado el ejercicio, conviene comprobar si existe alguna solución constante que haya podido perderse al dividir entre \( y^2 \).
Supongamos que \( y(x)=k \), siendo \( k \) una constante. En ese caso:
$$ y'=0 $$
Sustituyendo en la ecuación original:
$$ 3k^2\cdot0=x+1 $$
$$ 0=x+1 $$
Esta igualdad solo se cumple cuando \( x=-1 \), pero una solución de una ecuación diferencial debe verificarse en un intervalo y no únicamente en un punto. Por ello, la ecuación no admite soluciones constantes.
En conclusión, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y(x)=\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}+x+C} $$
Con esto queda resuelto el ejercicio.
