Ejercicio 15 de ecuaciones diferenciales
Resolvamos la siguiente ecuación diferencial de primer orden:
$$ y' + y = 1 $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal de la forma general y' + a(x)y = b(x), donde en este caso a(x) = 1 y b(x) = 1.
Para obtener la solución utilizaremos el método de variación de la constante, una técnica ampliamente empleada para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
La fórmula general del método es:
$$ y = e^{-\int a(x)\,dx} \cdot \left[ \int b(x) \cdot e^{\int a(x)\,dx} \,dx + c \right] $$
Sustituyendo los valores a(x) = 1 y b(x) = 1, obtenemos:
$$ y = e^{-\int 1\,dx} \cdot \left[ \int 1 \cdot e^{\int 1\,dx} \,dx + c \right] $$
Como la integral de 1 es x, la expresión se simplifica a:
$$ y = e^{-x} \cdot \left[ \int e^x \,dx + c \right] $$
La primitiva de ex es ex, por lo que resulta:
$$ y = e^{-x} \cdot \left[ e^x + c \right] $$
Ahora desarrollamos el producto:
$$ y = e^{-x} \cdot e^x + e^{-x} \cdot c $$
Dado que \( e^{-x} \cdot e^x = 1 \), obtenemos:
$$ y = 1 + c \cdot e^{-x} $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c \cdot e^{-x} + 1 $$
Esta expresión representa la familia de todas las soluciones de la ecuación diferencial, donde c es una constante arbitraria de integración.
Con esto queda resuelto el ejercicio.
