Ejercicio 23: Ecuaciones diferenciales
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' - y' = x $$
Estamos ante una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Para resolverla, conviene separar el problema en dos partes. Primero hallaremos la solución general de la ecuación homogénea asociada y, después, buscaremos una solución particular de la ecuación no homogénea. La suma de ambas nos proporcionará la solución general.
Solución de la ecuación homogénea asociada
Empezamos considerando la ecuación homogénea asociada, que se obtiene sustituyendo el segundo miembro por cero:
$$ y'' - y' = 0 $$
Su ecuación característica es:
$$ z^2 - z = 0 $$
Factorizamos la expresión:
$$ z(z-1) = 0 $$
De aquí obtenemos dos raíces reales y distintas:
$$ z = \begin{cases} 0 \\ \\ 1 \end{cases} $$
Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea asociada es:
$$ y = c_1 e^{0 \cdot x} + c_2 e^{1 \cdot x} $$
Como $e^0=1$, podemos escribirla de forma más sencilla:
$$ y = c_1 + c_2 e^{x} $$
Solución particular
Ahora necesitamos encontrar una solución particular de la ecuación original:
$$ y'' - y' = x $$
Como el término no homogéneo del segundo miembro es un polinomio de primer grado, podemos aplicar el método de los coeficientes indeterminados.
En la forma general ay''+by'+cy = f(x), en este caso se cumple que c=0 y b≠0. Por ello, proponemos como solución particular un polinomio de segundo grado sin término independiente:
$$ y_p = Ax^2 + Bx $$
Calculamos ahora sus derivadas primera y segunda:
$$ y'_p = 2Ax + B \qquad y''_p = 2A $$
Sustituimos estas expresiones en la ecuación diferencial:
$$ y''_p - y'_p = x $$
y obtenemos:
$$ 2A - (2Ax + B) = x $$
Eliminando los paréntesis:
$$ 2A - 2Ax - B = x $$
Para que esta igualdad se cumpla para cualquier valor de x, los coeficientes de los términos del mismo grado deben ser iguales en ambos miembros. Así obtenemos el sistema:
$$ \begin{cases} -2A = 1 \\ \\ 2A - B = 0 \end{cases} $$
Explicación. El coeficiente de x es -2A en el primer miembro y 1 en el segundo, por lo que -2A=1. El término independiente es 2A - B en el primer miembro y 0 en el segundo, de modo que 2A - B=0.
Resolviendo el sistema, obtenemos:
$$ A = -\tfrac{1}{2}, \quad B = -1 $$
Sustituimos estos valores en la expresión que habíamos propuesto para la solución particular:
$$ y_p = - \tfrac{x^2}{2} - x $$
Solución general de la ecuación no homogénea
Ya disponemos de las dos partes necesarias. La solución general de la ecuación diferencial no homogénea se obtiene sumando la solución general de la ecuación homogénea asociada y una solución particular:
$$ y = y_o + y_p $$
Sustituyendo las expresiones que hemos obtenido:
$$ y = c_1 + c_2 e^{x} - \tfrac{x^2}{2} - x $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial propuesta es:
$$ \boxed{y = c_1 + c_2 e^{x} - \tfrac{x^2}{2} - x} $$
