Ejercicio 27: resolución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden
Vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial:
$$ y'' - y' = 3 $$
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Aunque su estructura es relativamente sencilla, resulta especialmente útil para comprender dos procedimientos habituales de resolución.
Primero aplicaremos el método basado en la ecuación homogénea asociada y una solución particular. Después veremos cómo reducir el orden de la ecuación mediante un cambio de variable. Ambos caminos nos conducirán, como es natural, a la misma solución general.
Método 1
Para resolver una ecuación lineal no homogénea de este tipo, podemos descomponer el problema en dos partes. Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada y, a continuación, buscamos una solución particular de la ecuación no homogénea.
La solución general será la suma de ambas:
$$ y = y_h + y_p $$
1] Solución de la ecuación homogénea asociada
Comenzamos considerando la ecuación homogénea asociada, que se obtiene sustituyendo el término independiente por cero:
$$ y'' - y' = 0 $$
Como es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, planteamos la ecuación característica:
$$ z^2 - z = 0 $$
Factorizamos:
$$ z(z-1) = 0 $$
Por tanto, las raíces son:
$$ z_1=0 \qquad z_2=1 $$
Al tratarse de dos raíces reales distintas, la solución general de la ecuación homogénea es:
$$ y_h = c_1 e^{0 \cdot x} + c_2 e^{1 \cdot x} $$
Teniendo en cuenta que $e^0=1$, esta expresión se simplifica a:
$$ y_h = c_1 + c_2 e^x $$
2] Solución particular
Una vez resuelta la ecuación homogénea, necesitamos encontrar una solución particular de la ecuación original. Para ello recurrimos al método de los coeficientes indeterminados.
El término no homogéneo es la constante $3$. Como en la ecuación no aparece explícitamente la función $y$, podemos buscar una solución particular de la forma:
$$ y_p = Ax $$
Calculamos sus derivadas:
$$ y_p' = A $$
$$ y_p'' = 0 $$
Ahora sustituimos estos resultados en la ecuación diferencial:
$$ y_p'' - y_p' = 3 $$
y obtenemos:
$$ 0 - A = 3 $$
Por tanto:
$$ A = -3 $$
Así pues, una solución particular de la ecuación es:
$$ y_p = -3x $$
3] Solución general
Ya disponemos de las dos partes necesarias. La solución general de la ecuación no homogénea se obtiene sumando la solución general de la ecuación homogénea asociada y la solución particular:
$$ y = y_h + y_p $$
Sustituimos:
$$ y_h = c_1 + c_2 e^x $$
y
$$ y_p = -3x $$
De este modo:
$$ y = c_1 + c_2 e^x - 3x $$
Esta es la solución general de la ecuación diferencial.
Método 2
La misma ecuación puede resolverse siguiendo un procedimiento diferente. En este caso aprovechamos una característica importante: se trata de una ecuación diferencial de segundo orden en la que no aparece explícitamente la función $y=f(x)$.
Partimos de:
$$ y'' - y' = 3 $$
Cuando una ecuación de segundo orden no contiene explícitamente $y$, podemos intentar reducir su orden introduciendo una nueva variable. Definimos:
$$ u = y' $$
La ecuación puede escribirse entonces como:
$$ y'' - u = 3 $$
Como $u=y'$, al derivar respecto de $x$ obtenemos:
$$ u' = y'' $$
Por tanto, la ecuación original se transforma en:
$$ u' - u = 3 $$
Hemos convertido así una ecuación diferencial de segundo orden en una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Esta nueva ecuación tiene la forma estándar:
$$ u' + P(x)u = Q(x) $$
En nuestro caso:
$$ P(x)=-1 \qquad Q(x)=3 $$
Podemos resolverla mediante el método del factor integrante.
El factor integrante viene dado por:
$$ M(x) = e^{\int -1 \, dx } = e^{-x} $$
Multiplicamos toda la ecuación
$$ u' - u = 3 $$
por $e^{-x}$:
$$ e^{-x}(u' - u) = 3 e^{-x} $$
El miembro izquierdo coincide con la derivada del producto $e^{-x}u$. Por tanto, podemos escribir:
$$ \frac{d}{dx}\left(e^{-x}u\right) = 3e^{-x} $$
De forma equivalente:
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{e^x}\right) = \frac{3}{e^x} $$
Integramos ahora ambos miembros:
$$ \frac{u}{e^x} = \int 3e^{-x}\,dx $$
Al calcular la integral obtenemos:
$$ \frac{u}{e^x} = -3e^{-x} + c_1 $$
que también puede escribirse como:
$$ \frac{u}{e^x} = c_1 - \frac{3}{e^x} $$
Multiplicamos ambos miembros por $e^x$:
$$ u = c_1 e^x - 3 $$
Recordemos que habíamos definido $u=y'$. Por tanto:
$$ y' = c_1 e^x - 3 $$
Para recuperar la función $y$, integramos una vez más:
$$ y = \int \left(c_1e^x - 3\right)\,dx $$
Calculando la integral:
$$ y = c_1e^x - 3x + c_2 $$
Finalmente, podemos escribir:
$$ y = c_2 + c_1 e^x - 3x $$
Obtenemos exactamente la misma solución general que con el primer método:
$$ y = c_1 + c_2 e^x - 3x $$
Las constantes de integración pueden intercambiarse o renombrarse sin alterar la familia de soluciones. Los dos procedimientos son, por tanto, completamente coherentes y conducen al mismo resultado.
