Ejercicio 3 de ecuaciones diferenciales
En este ejercicio vamos a resolver una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:
$$ y''=\cos(x) $$
Se trata de una ecuación diferencial elemental de segundo orden. Como conocemos directamente la segunda derivada de la función, podemos hallar la solución integrando dos veces.
Comenzamos integrando ambos miembros de la ecuación con respecto a x:
$$ \int y'' \, dx = \int \cos(x) \, dx $$
Al integrar el segundo miembro obtenemos la primitiva sin(x) + c1:
$$ \int y'' \, dx = \sin(x) + c_1 $$
Como una primitiva de y′′ es y′, obtenemos la primera derivada de la función:
$$ y' = \sin(x) + c_1 $$
Ahora integramos ambos miembros una segunda vez:
$$ \int y' \, dx = \int \left(\sin(x) + c_1\right) \, dx $$
Al integrar el segundo miembro obtenemos la primitiva -cos(x) + c1x + c2:
$$ \int y' \, dx = - \cos(x) + c_1 \cdot x + c_2 $$
Como una primitiva de y′ es la propia función y, llegamos finalmente a:
$$ y = - \cos(x) + c_1 \cdot x + c_2 $$
Esta expresión es la solución general de la ecuación diferencial, donde c1 y c2 son constantes arbitrarias de integración.
Por tanto, mediante dos integraciones sucesivas hemos determinado la familia de funciones que satisface la ecuación diferencial dada.
