Ejercicio 4 de ecuaciones diferenciales
Resolvamos la siguiente ecuación diferencial de primer orden:
$$ xy' + y = 0 $$
Es una ecuación diferencial de primer orden porque la derivada de mayor orden que interviene es la primera derivada, y'.
Comenzamos despejando y' en función de x e y:
$$ y' = - \frac{y}{x} $$
La ecuación queda en la forma y' = f(x)g(y), con f(x) = -1/x y g(y) = y. Por tanto, se trata de una ecuación diferencial de variables separables.
Escribimos la ecuación utilizando la notación diferencial:
$$ \frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x} $$
Ahora separamos las variables:
$$ \frac{dy}{y} = - \frac{dx}{x} $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{dy}{y} = \int - \frac{dx}{x} $$
$$ \int \frac{1}{y} \, dy = - \int \frac{1}{x} \, dx $$
La integral del miembro izquierdo es:
$$ \log(y) + c_1 = - \int \frac{1}{x} \, dx $$
Al calcular la integral del miembro derecho obtenemos:
$$ \log(y) + c_1 = -\log(x) + c_2 $$
Las constantes de integración pueden reunirse en una sola constante arbitraria:
$$ c_3 = c_2 + c_1 $$
Como el valor y el signo de una constante arbitraria son irrelevantes, escribimos:
$$ \log(y) = -\log(x) + c_3 $$
Llevamos los términos logarítmicos al mismo miembro:
$$ \log(y) + \log(x) = c_3 $$
Aplicamos la propiedad de los logaritmos:
$$ \log(y) + \log(x) = \log(xy) $$
Por tanto:
$$ \log(xy) = c_3 $$
Para eliminar el logaritmo, exponenciamos ambos miembros:
$$ e^{\log(xy)} = e^{c_3} $$
$$ xy = e^{c_3} $$
Dado que \(e^{c_3}\) es una constante positiva, la representamos simplemente por c:
$$ xy = c $$
Finalmente, despejamos y:
$$ y = \frac{c}{x} $$
Esta es la solución general de la ecuación diferencial.
Método alternativo de resolución
La misma ecuación también puede resolverse mediante el método de las ecuaciones diferenciales lineales.
Partimos de la ecuación original:
$$ xy' + y = 0 $$
Dividimos ambos miembros entre x:
$$ \frac{xy' + y}{x} = \frac{0}{x} $$
$$ y' + \frac{y}{x} = 0 $$
Ahora la ecuación tiene la forma:
$$ y' + a(x)y = b(x) $$
donde:
$$ a(x)=\frac{1}{x}, \qquad b(x)=0 $$
En este caso puede resolverse mediante el método del factor integrante:
$$ y = e^{-\int a(x) \, dx} \cdot \left[ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \, dx} \, dx + c \right] $$
Sustituimos los valores de a(x) y b(x):
$$ y = e^{-\int \frac{1}{x} \, dx} \cdot \left[ \int 0 \cdot e^{\int \frac{1}{x} \, dx} \, dx + c \right] $$
Como el segundo término es nulo, queda:
$$ y = e^{-\int \frac{1}{x} \, dx} \cdot c $$
Sabemos que:
$$ \int \frac{1}{x}\,dx = \log(x) + \text{constante} $$
Como la constante ya está incluida en c, podemos escribir:
$$ y = e^{-\log(x)} \cdot c $$
Aplicando las propiedades de la función exponencial:
$$ y = \frac{1}{e^{\log(x)}} \cdot c $$
Y puesto que la función exponencial y el logaritmo son funciones inversas:
$$ e^{\log(x)} = x $$
obtenemos:
$$ y = \frac{1}{x} \cdot c $$
o, de forma equivalente:
$$ y = \frac{c}{x} $$
Se llega así a la misma solución general obtenida con el método de separación de variables.
Como era de esperar, ambos procedimientos conducen exactamente al mismo resultado.
Y así sucesivamente.
