Ejercicio 4: ecuaciones diferenciales de segundo orden
Consideremos la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
$$ y'' = 6x + 2 $$
Se trata de una ecuación diferencial elemental de segundo orden que podemos resolver directamente mediante dos integraciones sucesivas.
Para hallar la función desconocida y(x), comenzamos integrando ambos miembros de la ecuación:
$$ \int y'' \, dx = \int (6x + 2) \, dx $$
Una primitiva del miembro derecho es \( 3x^2 + 2x + c_1 \):
$$ \int y'' \, dx = 3x^2 + 2x + c_1 $$
En el miembro izquierdo, al integrar la segunda derivada y″, obtenemos la primera derivada y′:
$$ y' = 3x^2 + 2x + c_1 $$
Ahora integramos de nuevo para obtener la función y:
$$ \int y' \, dx = \int (3x^2 + 2x + c_1) \, dx $$
Una primitiva del miembro derecho es \( x^3 + x^2 + c_1x + c_2 \):
$$ \int y' \, dx = x^3 + x^2 + c_1x + c_2 $$
En el miembro izquierdo, al integrar y′, recuperamos directamente la función y:
$$ y = x^3 + x^2 + c_1x + c_2 $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y(x) = x^3 + x^2 + c_1x + c_2 $$
Las constantes c1 y c2 son constantes de integración reales arbitrarias e independientes de x. Su presencia refleja que, al tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, son necesarias dos integraciones para obtener la solución general.
De este modo queda resuelta la ecuación diferencial.
