Ejercicio 8 sobre una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
En este ejercicio resolveremos la siguiente ecuación diferencial:
$$ y' + y \cdot \sin x = 0 $$
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Puede resolverse de distintas maneras. A continuación veremos dos de los métodos más utilizados, comprobando que ambos conducen a la misma solución.
Método 1: separación de variables
La ecuación tiene la forma y' + f(x)g(y) = 0, donde f(x) = sin x y g(y) = y.
$$ y' + y \cdot \sin x = 0 $$
Por ello, es una ecuación de variables separables y puede resolverse mediante el método de separación de variables.
Comenzamos despejando la derivada:
$$ \frac{dy}{dx} = -y \cdot \sin x $$
Suponiendo inicialmente que y ≠ 0, separamos las variables:
$$ \frac{dy}{y} = -\sin x \, dx $$
Ahora integramos ambos miembros con respecto a sus variables:
$$ \int \frac{1}{y} \, dy = -\int \sin x \, dx $$
La integral del segundo miembro es:
$$ -\int \sin x \, dx = -(-\cos x) + C $$
Por tanto:
$$ \int \frac{1}{y} \, dy = \cos x + C $$
La integral del primer miembro es el logaritmo natural del valor absoluto de y:
$$ \ln |y| = \cos x + C $$
Aplicamos la función exponencial a ambos miembros:
$$ e^{\ln |y|} = e^{\cos x + C} $$
Como la función exponencial y el logaritmo natural son funciones inversas, obtenemos:
$$ |y| = e^{\cos x} \cdot e^C $$
El factor eC es una constante positiva. Además, el signo de y puede incorporarse a una nueva constante arbitraria c. Así llegamos a:
$$ y = c \, e^{\cos x} $$
La constante c puede tomar cualquier valor real. En particular, si c = 0 se obtiene la solución trivial y = 0, que también satisface la ecuación diferencial.
Por tanto, la solución general es:
$$ y = c \, e^{\cos x}, \qquad c \in \mathbb{R} $$
Método 2: ecuación diferencial lineal homogénea
Esta ecuación también puede tratarse como una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden de la forma y' + a(x)·y = b(x), donde a(x) = sin x y b(x) = 0.
$$ y' + y \cdot \sin x = 0 $$
En este caso aplicamos la fórmula general del método de variación de las constantes:
$$ y = e^{-\int a(x) \, dx} \left[ \int b(x) \, e^{\int a(x) \, dx} \, dx + c \right] $$
Sustituimos a(x) = sin x y b(x) = 0:
$$ y = e^{-\int \sin x \, dx} \left[ \int 0 \cdot e^{\int \sin x \, dx} \, dx + c \right] $$
Como la integral del término nulo es cero, la expresión se reduce a:
$$ y = e^{-\int \sin x \, dx} \cdot c $$
Sabemos que:
$$ \int \sin x \, dx = -\cos x $$
Sustituyendo este resultado, obtenemos:
$$ y = e^{-(-\cos x)} \cdot c $$
es decir,
$$ y = c \, e^{\cos x} $$
Por tanto, la solución general vuelve a ser:
$$ y = c \, e^{\cos x}, \qquad c \in \mathbb{R} $$
Como puede verse, ambos métodos llevan exactamente a la misma solución. La elección de uno u otro depende del tipo de ecuación y del procedimiento que resulte más conveniente en cada caso.
