Ejercicio 9 de ecuaciones diferenciales
Consideremos la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
$$ y'' + 4y' + 4y = 0 $$
Es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a=1, b=4 y c=4.
Para resolverla, utilizamos el método de la ecuación característica, que permite transformar el problema diferencial en un problema algebraico.
La ecuación característica se obtiene introduciendo una variable auxiliar t y sustituyendo los coeficientes a=1, b=4 y c=4:
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 +4 \cdot t + 4 = 0 $$
$$ t^2 +4t +4 = 0 $$
Ahora resolvemos esta ecuación de segundo grado:
$$ t = \frac{-(4) \pm \sqrt{16-4(1)(4)}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm 0}{2} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{-4+0}{2}=-2 \\ \\ \frac{-4-0}{2}=-2 \end{cases} $$
Por tanto, la ecuación característica tiene una raíz real doble: t1=-2 y t2=-2.
Cuando la ecuación característica presenta una raíz real doble, la solución general de la ecuación diferencial adopta la forma:
$$ y = c_1e^{t_1x} + x \cdot c_2e^{t_1x} $$
Sustituyendo t1=-2, obtenemos:
$$ y = c_1e^{-2x} + x \cdot c_2e^{-2x} $$
donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
Por tanto, esta expresión representa la solución general de la ecuación diferencial dada.
