Ejercicio de ecuación diferencial
Vamos a resolver paso a paso el siguiente problema de ecuación diferencial:
$$ \begin{cases} y' - x^2 = 0 \\ x = 4 \\ y = \frac{1}{4} \end{cases} $$
Estamos ante una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que la derivada de mayor orden que aparece es la primera derivada y'.
Además, se trata de un problema de Cauchy, porque conocemos una condición inicial que debe satisfacer la solución:
$$ x=4 $$
$$ y = \frac{1}{4} $$
Estas dos expresiones indican que la función buscada debe cumplir y(4)=1/4.
Por tanto, nuestro objetivo no es encontrar únicamente la familia de soluciones de la ecuación diferencial, sino determinar la solución particular que pasa por el punto (x, y) = (4, 1/4).
Resolución de la ecuación diferencial
Comenzamos escribiendo la ecuación diferencial en forma explícita, despejando la derivada y':
$$ y' = x^2 $$
Se trata de una ecuación diferencial de variables separables. En efecto, puede escribirse en la forma y' = f(x)·g(y), con f(x)=x2 y g(y)=1.
Expresamos ahora la derivada mediante la notación de Leibniz:
$$ \frac{dy}{dx} = x^2 $$
De este modo podemos separar las variables:
$$ dy = x^2 \ dx $$
El siguiente paso consiste en integrar ambos miembros con respecto a sus correspondientes variables:
$$ \int dy = \int x^2 \ dx $$
$$ \int 1 \ dy = \int x^2 \ dx $$
Una primitiva de 1 con respecto a y es y, por lo que obtenemos:
$$ y + c_1 = \int x^2 \ dx $$
Por otra parte, una primitiva de x2 es x3/3. Por tanto:
$$ y + c_1 = \frac{x^3}{3} + c_2 $$
Las dos constantes de integración pueden agruparse en una única constante, c = c2 - c1, donde c es una constante real arbitraria. Así obtenemos la solución general de la ecuación diferencial:
$$ y = \frac{x^3}{3} + c $$
Aplicación de la condición inicial
Ahora debemos determinar qué valor de c corresponde a la solución que pasa por el punto (4, 1/4). Para ello, imponemos la condición inicial y(4)=1/4 y la sustituimos en la solución general:
$$ y = \frac{x^3}{3} + c $$
$$ \frac{1}{4} = \frac{4^3}{3} + c $$
Despejamos c:
$$ c = \frac{1}{4} - \frac{64}{3} $$
Llevamos ambas fracciones al mismo denominador:
$$ c = \frac{3-256}{12} $$
Por tanto:
$$ c = - \frac{253}{12} $$
Solución particular
Una vez determinado el valor de la constante, sustituimos c = -253/12 en la solución general:
$$ y = \frac{x^3}{3} + c $$
$$ y = \frac{x^3}{3} - \frac{253}{12} $$
La función obtenida satisface tanto la ecuación diferencial y' = x2 como la condición inicial y(4)=1/4.
Por consiguiente, la solución del problema de Cauchy es:
$$ y = \frac{x^3}{3} - \frac{253}{12} $$
Con esto queda completamente resuelto el ejercicio.
