Ejercicio de ecuaciones diferenciales n.º 12
Consideremos la siguiente ecuación diferencial:
$$ y''+4y=0 $$
Estamos ante una ecuación diferencial lineal de segundo orden.
Más concretamente, se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a=1, b=0, c=4.
Para resolverla, comenzamos planteando la ecuación característica asociada. Para ello utilizamos la variable auxiliar t:
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
Sustituimos los valores de los coeficientes:
$$ 1 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 4 = 0 $$
$$ t^2 + 4 = 0 $$
Ahora despejamos t2:
$$ t^2 = -4 $$
Al extraer la raíz cuadrada, obtenemos:
$$ t = \sqrt{-4} $$
Como no existen soluciones reales para esta raíz, debemos recurrir a los números complejos:
$$ t = \sqrt{4 \cdot (-1)} $$
Recordemos que la unidad imaginaria i se define mediante la relación i2=-1. Por tanto, podemos escribir:
$$ t = \sqrt{4 \cdot i^2} $$
$$ t = i \sqrt{4} $$
De este modo obtenemos las dos raíces:
$$ t = \pm 2i $$
La ecuación característica tiene, por tanto, dos raíces complejas conjugadas puramente imaginarias:
$$ t = \pm 2i = \begin{cases} t_1 = -2i \\ \\ t_2 = +2i \end{cases} $$
Estas raíces pueden expresarse en la forma α ± βi. En nuestro caso:
$$ \alpha = 0 $$
$$ \beta = 2 $$
Cuando la ecuación característica presenta un par de raíces complejas conjugadas de la forma α ± βi, la solución general real de la ecuación diferencial se escribe como:
$$ y = c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x) $$
Sustituimos ahora α=0 y β=2:
$$ y = c_1 e^{0 \cdot x} \cos(2x) + c_2 e^{0 \cdot x} \sin(2x) $$
Como e0 = 1, la expresión se simplifica:
$$ y = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x) $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x) $$
donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
