Ejercicio resuelto 10 de ecuaciones diferenciales

En este ejercicio resolvemos paso a paso la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

$$ 2yy' - x^2 = 0 $$

El primer paso consiste en despejar la derivada \( y' \). Para ello dividimos ambos miembros entre \( 2y \), suponiendo que \( y \neq 0 \):

$$ \frac{2yy'}{2y} - \frac{x^2}{2y} = 0 $$

$$ y' - \frac{x^2}{2y} = 0 $$

Esta ecuación es una ecuación diferencial de variables separables, ya que puede escribirse en la forma \( y' = f(x)g(y) \), donde:

$$ f(x) = \frac{x^2}{2}, \qquad g(y) = \frac{1}{y} $$

Ahora expresamos la derivada utilizando la notación de Leibniz:

$$ \frac{dy}{dx} - \frac{x^2}{2y} = 0 $$

Despejamos la derivada y separamos las variables, reuniendo los términos que contienen \( y \) en el miembro izquierdo y los que contienen \( x \) en el derecho:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{2y} $$

$$ 2y \, dy = x^2 \, dx $$

Una vez separadas las variables, integramos ambos miembros:

$$ \int 2y \, dy = \int x^2 \, dx $$

La integral del segundo miembro es:

$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + c $$

donde \( c \) es la constante de integración.

Sustituyendo este resultado, obtenemos:

$$ \int 2y \, dy = \frac{x^3}{3} + c $$

La integral del primer miembro es:

$$ y^2 = \frac{x^3}{3} + c $$

Esta expresión representa la solución general en forma implícita. Para obtener la forma explícita, tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros:

$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{\frac{x^3}{3} + c} $$

Puesto que \( \sqrt{y^2} = |y| \), la solución admite dos ramas:

$$ y = \pm \sqrt{\frac{x^3}{3} + c} $$

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:

$$ y = \pm \sqrt{\frac{x^3}{3} + c} $$

Si trabajamos en el conjunto de los números reales, la expresión bajo la raíz cuadrada debe ser no negativa. Por ello, la solución solo está definida cuando se cumple la condición:

$$ \frac{x^3}{3} + c \geq 0 $$