Ejercicio resuelto 16: ecuación diferencial lineal de primer orden

En este ejercicio resolveremos la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

$$ y' + y \cos x = \cos x $$

Se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma y' + a(x)y = b(x), donde $ a(x) = \cos x $ y $ b(x) = \cos x $.

Para obtener la solución aplicamos el método del factor integrante, cuya expresión general es:

$$ y = e^{- \int a(x) \, dx} \; \left[ \int b(x) \, e^{\int a(x) \, dx} \, dx + c \right] $$

Sustituyendo las funciones $ a(x) $ y $ b(x) $ en la fórmula, obtenemos:

$$ y = e^{- \int \cos x \, dx} \; \left[ \int \cos x \; e^{\int \cos x \, dx} \, dx + c \right] $$

Como una primitiva de $ \cos x $ es $ \sin x $, resulta:

$$ \int \cos x \, dx = \sin x $$

Por tanto, la expresión de la solución queda:

$$ y = e^{-\sin x} \; \left[ \int \cos x \; e^{\sin x} \, dx + c \right] $$

Ahora calculamos la integral que aparece entre corchetes mediante un cambio de variable:

$$ u = \sin x $$

$$ du = \cos x \, dx $$

Así, la integral se transforma en:

$$ \int \cos x \; e^{\sin x} \, dx = \int e^u \, du $$

Integrando obtenemos:

$$ \int e^u \, du = e^u $$

Al regresar a la variable original:

$$ \int \cos x \; e^{\sin x} \, dx = e^{\sin x} $$

Sustituimos este resultado en la expresión de la solución:

$$ y = e^{-\sin x} \; \left[ e^{\sin x} + c \right] $$

Distribuimos ahora el factor $ e^{-\sin x} $:

$$ y = e^{-\sin x} \cdot e^{\sin x} + c \, e^{-\sin x} $$

Aplicando la propiedad de las potencias de la función exponencial, $ e^a \cdot e^b = e^{a+b} $, se obtiene:

$$ y = e^{-\sin x+\sin x} + c \, e^{-\sin x} $$

$$ y = e^0 + c \, e^{-\sin x} $$

Como $ e^0 = 1 $, llegamos a:

$$ y = 1 + c \, e^{-\sin x} $$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:

$$ y = 1 + c \, e^{-\sin x} $$

donde $ c $ es una constante real arbitraria.