Ejercicio resuelto 17 de ecuaciones diferenciales

Resolvamos paso a paso la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

$$ xy' + 2y = x $$

Como el coeficiente de la derivada $ y' $ es $ x $, comenzamos dividiendo ambos miembros entre $ x $, suponiendo que $ x \neq 0 $:

$$ \frac{xy' + 2y}{x} = \frac{x}{x} $$

$$ \frac{xy'}{x} + \frac{2y}{x} = 1 $$

$$ y' + \frac{2}{x}y = 1 $$

De este modo, la ecuación queda escrita en la forma canónica de una ecuación diferencial lineal de primer orden:

$ y' + a(x)\,y = b(x) $, donde $ a(x) = \frac{2}{x} $ y $ b(x) = 1 $.

Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos el método de variación de la constante, cuya expresión general es:

$$ y = e^{-\int a(x) \, dx} \left[ \int b(x) \, e^{\int a(x) \, dx} \, dx + C \right] $$

Sustituyendo las funciones $ a(x) $ y $ b(x) $, obtenemos:

$$ y = e^{-\int \frac{2}{x} \, dx} \left[ \int e^{\int \frac{2}{x} \, dx} \, dx + C \right] $$

$$ y = e^{-2 \int \frac{1}{x} \, dx} \left[ \int e^{2 \int \frac{1}{x} \, dx} \, dx + C \right] $$

Como

$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \log |x| $$

podemos escribir:

$$ y = e^{-2 \log |x|} \left[ \int e^{2 \log |x|} \, dx + C \right] $$

Ahora aplicamos la identidad exponencial:

$$ e^{\log |x|} = |x| $$

y obtenemos:

$$ y = |x|^{-2} \left[ \int |x|^2 \, dx + C \right] $$

Dado que $ |x|^2 = x^2 $ y $ |x|^{-2} = x^{-2} $, la expresión se simplifica a:

$$ y = x^{-2} \left[ \int x^2 \, dx + C \right] $$

Calculamos la integral:

$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} $$

Sustituyendo el resultado:

$$ y = x^{-2} \left[ \frac{x^3}{3} + C \right] $$

Distribuimos el factor $ x^{-2} $:

$$ y = x^{-2} \cdot \frac{x^3}{3} + Cx^{-2} $$

Finalmente, simplificamos:

$$ y = \frac{x}{3} + Cx^{-2} $$

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:

$$ \boxed{y = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^2}} $$

Esta solución es válida en cualquier intervalo del dominio que no incluya el punto $ x = 0 $, ya que en dicho punto la ecuación original no está definida.