Ejercicio resuelto 18: ecuación diferencial homogénea de primer orden
En este ejercicio resolveremos paso a paso la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
$$ 2xyy' = x^2 + 2y^2 $$
El primer paso consiste en despejar la derivada \(y'\). Para ello, dividimos ambos miembros entre \(2xy\), suponiendo que \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\):
$$ \frac{2xyy'}{2xy} = \frac{x^2 + 2y^2}{2xy} $$
$$ y' = \frac{x^2}{2xy} + \frac{2y^2}{2xy} $$
$$ y' = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$
Observemos que el segundo miembro puede expresarse únicamente en función del cociente \(y/x\):
$$ \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} = \frac{1}{2(y/x)} + \frac{y}{x} $$
Esto nos permite identificar la ecuación como una ecuación diferencial homogénea de primer orden, de la forma \(y' = f(y/x)\).
Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos el cambio de variable:
$$ t = \frac{y}{x} $$
De aquí se deduce inmediatamente que:
$$ y = tx $$
Como \(t\) depende de \(x\), derivamos aplicando la regla del producto:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(tx) $$
$$ y' = t'x + t $$
Sustituimos esta expresión en la ecuación obtenida anteriormente:
$$ y' = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$
$$ t'x + t = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} $$
Ahora reemplazamos \(y\) por \(tx\):
$$ t'x + t = \frac{x}{2tx} + \frac{tx}{x} $$
$$ t'x + t = \frac{1}{2t} + t $$
Escribiendo \(t'\) como \(\frac{dt}{dx}\), obtenemos:
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x + t = \frac{1}{2t} + t $$
Restamos \(t\) en ambos miembros:
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x = \frac{1}{2t} $$
En este punto, la ecuación ya está preparada para resolverse como una ecuación diferencial de variables separables.
Separación de variables
Separamos las variables:
$$ 2t \, dt = \frac{1}{x} \, dx $$
De forma equivalente:
$$ t \, dt = \frac{1}{2x} \, dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int t \, dt = \int \frac{1}{2x} \, dx $$
$$ \int t \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \, dx $$
Sabemos que:
$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $$
Por tanto:
$$ \int t \, dt = \frac{\ln|x|}{2} + C $$
La integral del primer miembro es:
$$ \frac{t^2}{2} = \frac{\ln|x|}{2} + C $$
Multiplicamos toda la igualdad por 2:
$$ t^2 = \ln|x| + 2C $$
Como \(2C\) sigue siendo una constante arbitraria, podemos volver a representarla simplemente por \(C\):
$$ t^2 = \ln|x| + C $$
Nota. Es habitual sustituir \(2C\) por \(C\), ya que ambas expresiones representan una constante de integración arbitraria. Esta simplificación no modifica la familia de soluciones.
Volvemos a la variable original
Recuperamos la variable original sustituyendo \(t = y/x\):
$$ \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \ln|x| + C $$
$$ \frac{y^2}{x^2} = \ln|x| + C $$
Multiplicamos ambos miembros por \(x^2\):
$$ y^2 = x^2\big(\ln|x| + C\big) $$
Desarrollando el producto:
$$ y^2 = x^2\ln|x| + Cx^2 $$
Finalmente, tomamos la raíz cuadrada en ambos miembros:
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{x^2\ln|x| + Cx^2} $$
Dado que \(\sqrt{y^2}=|y|\), obtenemos las dos ramas de la solución:
$$ y = \pm \sqrt{x^2\ln|x| + Cx^2} $$
También puede escribirse como:
$$ y = \pm \sqrt{x^2\big(\ln|x| + C\big)} $$
o, de forma equivalente, en cualquier intervalo donde \(x \neq 0\):
$$ y = \pm |x|\sqrt{\ln|x| + C} $$
Solución general
La solución general de la ecuación diferencial es:
$$ \boxed{y^2 = x^2\big(\ln|x| + C\big)} $$
Si se desea expresar la solución de forma explícita, se obtiene:
$$ \boxed{y = \pm \sqrt{x^2\big(\ln|x| + C\big)}} $$
Para que la solución sea real, debe cumplirse la condición:
$$ \ln|x| + C \geq 0 $$
Además, las soluciones se consideran en intervalos que no contienen el punto \(x=0\), ya que durante el procedimiento aparecen divisiones entre \(x\).
Con esto queda completamente resuelto el ejercicio.
