Ejercicio resuelto 2: cómo resolver una ecuación diferencial homogénea de primer orden
En este ejercicio resolveremos paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ x^2y'=xy+y^2 $$
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. A primera vista no es una ecuación lineal ni de variables separables. Sin embargo, puede transformarse mediante un cambio de variable adecuado.
El primer paso consiste en despejar la derivada y'. Para ello dividimos ambos miembros entre x2, suponiendo que x \ne 0:
$$ \frac{ x^2y' }{x^2} = \frac{ xy+y^2 }{x^2} $$
$$ y' = \frac{ xy }{x^2} + \frac{ y^2 }{x^2} $$
$$ y' = \frac{ y }{x} + \frac{ y^2 }{x^2} $$
También puede escribirse como:
$$ y' = \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2 $$
Esta forma revela que la ecuación es una ecuación diferencial homogénea de primer orden, ya que el segundo miembro depende únicamente del cociente y/x. Por ello resulta natural introducir el siguiente cambio de variable:
$$ t = \frac{y}{x} $$
De esta relación se obtiene:
$$ y = tx $$
Como t depende de x, derivamos utilizando la regla del producto:
$$ y' = D_x[tx] $$
$$ y' = t'x + t $$
o, de forma equivalente,
$$ y' = x\frac{dt}{dx} + t $$
Ahora sustituimos y = tx en la ecuación diferencial:
$$ y' = \frac{ y }{x} + \frac{ y^2 }{x^2} $$
$$ y' = \frac{tx}{x} + \frac{(tx)^2}{x^2} $$
$$ y' = t + t^2 $$
Reemplazamos también la expresión de la derivada:
$$ t'x + t = t + t^2 $$
Escribiendo t' = dt/dx, obtenemos:
$$ x\frac{dt}{dx} + t = t + t^2 $$
Restando t en ambos miembros, la ecuación se simplifica a:
$$ x\frac{dt}{dx} = t^2 $$
Antes de continuar, conviene observar que al dividir entre t2 podría perderse la solución t = 0. Como t = y/x, esta condición corresponde a la solución constante:
$$ y = 0 $$
Para el caso t \ne 0, la ecuación ya es de variables separables.
Partimos de:
$$ x\frac{dt}{dx} = t^2 $$
Dividimos ambos miembros entre xt2:
$$ \frac{1}{t^2}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} $$
Multiplicamos por dx para separar las variables:
$$ \frac{1}{t^2}\,dt = \frac{1}{x}\,dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{1}{t^2}\,dt = \int \frac{1}{x}\,dx $$
Reescribimos el primer integrando como una potencia:
$$ \int t^{-2}\,dt = \int \frac{1}{x}\,dx $$
La integral del segundo miembro es:
$$ \int t^{-2}\,dt = \ln|x| + C $$
Aplicando la regla de integración de las potencias al primer miembro:
$$ \frac{t^{-1}}{-1} = \ln|x| + C $$
$$ -t^{-1} = \ln|x| + C $$
$$ -\frac{1}{t} = \ln|x| + C $$
Finalmente, sustituimos de nuevo t = y/x:
$$ -\frac{1}{\frac{y}{x}} = \ln|x| + C $$
$$ -\frac{x}{y} = \ln|x| + C $$
Despejamos la incógnita y:
$$ -x = y\left(\ln|x| + C\right) $$
$$ y = -\frac{x}{\ln|x| + C} $$
Por tanto, para x \ne 0 y \ln|x| + C \ne 0, la solución general es:
$$ y(x) = -\frac{x}{\ln|x| + C} $$
Además, debe añadirse la solución singular obtenida anteriormente:
$$ y(x) = 0 $$
En conclusión, la ecuación diferencial admite las siguientes soluciones:
$$ y(x) = -\frac{x}{\ln|x| + C} $$
y la solución singular:
$$ y(x) = 0 $$
