Ejercicio resuelto 25: ecuación diferencial lineal de primer orden

En este ejercicio vamos a resolver paso a paso la ecuación diferencial

$$ y' + \frac{1}{x} y = \frac{\sin x}{x}. $$

Estamos ante una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma y' + a(x)y = b(x), con $a(x) = \tfrac{1}{x}$ y $b(x) = \tfrac{\sin(x)}{x}$. Como aparece el término $1/x$, debemos tener en cuenta que la ecuación solo está definida para $x \neq 0$.

Para resolverla utilizamos el método del factor integrante. La solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden puede escribirse como

$$ y = e^{-\int a(x)\, dx} \,\Bigg( \int b(x)\, e^{\int a(x)\, dx}\, dx + c \Bigg). $$

Sustituimos ahora $a(x) = 1/x$ y $b(x) = \sin(x)/x$ en esta expresión:

$$ y = e^{-\int \tfrac{1}{x}\, dx} \,\Bigg( \int \frac{\sin(x)}{x} \, e^{\int \tfrac{1}{x}\, dx}\, dx + c \Bigg). $$

El siguiente paso consiste en calcular la integral

$$ \int \frac{1}{x}\, dx = \ln|x|. $$

En cualquier intervalo que no contenga el origen podemos elegir un factor integrante proporcional a $x$. Si trabajamos, por ejemplo, en un intervalo en el que $x > 0$, tenemos $\ln|x| = \ln x$ y, por tanto,

$$ y = e^{-\ln(x)} \,\Bigg( \int \frac{\sin(x)}{x} \, e^{\ln(x)}\, dx + c \Bigg). $$

Como $e^{-\ln(x)} = 1/e^{\ln(x)}$, podemos reescribir la expresión de la siguiente forma:

$$ y = \frac{1}{e^{\ln(x)}} \,\Bigg( \int \frac{\sin(x)}{x}\, e^{\ln(x)}\, dx + c \Bigg). $$

Ahora utilizamos la identidad $e^{\ln(x)} = x$. De este modo, la expresión se simplifica considerablemente:

$$ y = \frac{1}{x} \,\Bigg( \int \frac{\sin(x)}{x} \cdot x\, dx + c \Bigg). $$

Al simplificar el factor $x$ del integrando, obtenemos

$$ y = \frac{1}{x} \,\Bigg( \int \sin(x)\, dx + c \Bigg). $$

Como una primitiva de $\sin(x)$ es $-\cos(x)$, llegamos a

$$ y = \frac{1}{x}\,(-\cos(x) + c). $$

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es

$$ y = \frac{c}{x} - \frac{\cos(x)}{x}, \qquad x \neq 0. $$

Esta expresión representa la familia de soluciones de la ecuación en cualquier intervalo que no contenga el origen.