Ejercicio resuelto 26 de ecuaciones diferenciales
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ \begin{cases} y''+6y'+8y = 0 \\ y(0)=-2 \\ y'(0)=1 \end{cases} $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes y dos condiciones iniciales. Por tanto, estamos ante un problema de Cauchy.
El objetivo es encontrar la función $y(x)$ que satisface tanto la ecuación diferencial como las condiciones $y(0)=-2$ e $y'(0)=1$.
Planteamiento de la ecuación característica
Para resolver la ecuación diferencial, comenzamos planteando la ecuación característica asociada. Utilizamos para ello la variable auxiliar $z$:
$$ z^2+6z+8=0 $$
Resolvemos esta ecuación de segundo grado:
$$ z = \frac{-6 \pm \sqrt{36-32}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} = \begin{cases} z=\frac{-6-2}{2}=-4 \\ \\z=\frac{-6+2}{2}=-2 \end{cases} $$
La ecuación característica tiene, por tanto, dos raíces reales distintas:
$$ z_1=-4 \qquad z_2=-2 $$
Solución general de la ecuación diferencial
Cuando la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas, la solución general de la ecuación diferencial homogénea se obtiene mediante una combinación lineal de las funciones exponenciales asociadas a dichas raíces.
En este caso, la solución general es:
$$ y = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-2x} $$
Las constantes $c_1$ y $c_2$ se determinarán a partir de las condiciones iniciales.
Derivamos ahora la solución general con respecto a $x$:
$$ y' = -4c_1 e^{-4x} - 2c_2 e^{-2x} $$
Disponemos así de las expresiones de la función y de su primera derivada:
$$ \begin{cases} y = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-2x} \\ \\ y' = -4 c_1 e^{-4x} - 2 c_2 e^{-2x} \end{cases} $$
Aplicación de las condiciones iniciales
A continuación, utilizamos las condiciones iniciales $y(0)=-2$ e $y'(0)=1$. Sustituimos $x=0$ en las dos expresiones anteriores:
$$ \begin{cases} -2 = c_1 e^0 + c_2 e^0 \\ \\ 1 = -4 c_1 e^0 - 2 c_2 e^0 \end{cases} $$
Como $e^0=1$, el sistema se simplifica:
$$ \begin{cases} -2 = c_1 + c_2 \\ \\ 1 = -4c_1 - 2c_2 \end{cases} $$
Cálculo de las constantes
Para determinar $c_1$ y $c_2$, resolvemos el sistema por sustitución. Despejamos primero $c_1$ en la primera ecuación:
$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ 1 = -4(-2-c_2) - 2c_2 \end{cases} $$
Desarrollamos la segunda ecuación:
$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ 1 = 8 + 4c_2 - 2c_2 \end{cases} $$
Simplificamos:
$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ -7 = 2c_2 \end{cases} $$
De aquí obtenemos:
$$ \begin{cases} c_1 =-2-c_2 \\ \\ c_2 = -\tfrac{7}{2} \end{cases} $$
Sustituimos ahora el valor de $c_2$ en la expresión de $c_1$:
$$ \begin{cases} c_1 = -2 - \left(-\tfrac{7}{2}\right) \\ \\ c_2 = -\tfrac{7}{2} \end{cases} $$
Expresamos los términos con un denominador común:
$$ \begin{cases} c_1 = \tfrac{-4+7}{2} \\ \\ c_2 = -\tfrac{7}{2} \end{cases} $$
Por tanto:
$$ \begin{cases} c_1 = \tfrac{3}{2} \\ \\ c_2 = -\tfrac{7}{2} \end{cases} $$
Solución del problema de Cauchy
Una vez halladas las constantes $c_1 = \tfrac{3}{2}$ y $c_2 = -\tfrac{7}{2}$, sustituimos sus valores en la solución general:
$$ y = \tfrac{3}{2} e^{-4x} - \tfrac{7}{2} e^{-2x} $$
Esta función satisface la ecuación diferencial original y las dos condiciones iniciales. Por tanto, la solución única del problema de Cauchy es:
$$ \boxed{y(x) = \tfrac{3}{2} e^{-4x} - \tfrac{7}{2} e^{-2x}} $$
