Ejercicio resuelto 28: ecuación diferencial de primer orden
Vamos a resolver paso a paso el siguiente problema de valor inicial para una ecuación diferencial de primer orden:
$$ \begin{cases} y'=\cos^2 y \\ \\ y(0)=0 \end{cases} $$
Estamos ante un problema de Cauchy, ya que la ecuación diferencial viene acompañada de una condición inicial que especifica el valor de la función en un punto concreto.
Para resolverlo, utilizaremos el método de separación de variables. Este método puede aplicarse porque la ecuación se puede escribir en la forma y'=a(x)b(y), con a(x)=1 y b(y)=cos2(y).
Partimos de la ecuación:
$$ y' = \cos^2 y $$
Escribimos la derivada y' como cociente de diferenciales:
$$ \frac{dy}{dx} = \cos^2 y $$
Ahora separamos las variables, agrupando en un miembro los términos que dependen de y y en el otro los que dependen de x:
$$ \frac{1}{\cos^2 y} \ dy = \ dx $$
Una vez separadas las variables, integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{1}{\cos^2 y} \ dy = \int \ dx $$
La integral del segundo miembro es inmediata y da como resultado x más una constante de integración:
$$ \int \frac{1}{\cos^2 y} \ dy = x+c $$
Para calcular la integral del primer miembro, recordamos que \(1/\cos^2 y=\sec^2 y\) y que una primitiva de \(\sec^2 y\) es \(\tan y\):
$$ \int \frac{1}{\cos^2 y} \ dy = \tan(y) $$
Por tanto, obtenemos:
$$ \tan(y) = x+c $$
Ahora utilizamos la condición inicial x=0, y=0 para determinar el valor de la constante c:
$$ \tan(0) = 0+c $$
Como tan(0)=0, resulta:
$$ c = 0 $$
Sustituyendo este valor en la expresión anterior, tenemos:
$$ \tan(y) = x $$
Para despejar y, aplicamos la función arcotangente a ambos miembros:
$$ y = \arctan(x) $$
Así obtenemos la solución del problema de Cauchy:
$$ \boxed{y(x)=\arctan(x)} $$
Nota. También es importante comprobar si la ecuación diferencial admite soluciones constantes. Si y(x)=k es una solución constante, entonces su derivada es y'=0. Al sustituir estos valores en la ecuación diferencial, obtenemos: $$ 0=\cos^2 k $$ Para que se cumpla esta igualdad, debe verificarse: $$ \cos k=0 $$ Esto ocurre cuando: $$ k=\frac{\pi}{2}+n\pi, \qquad n\in\mathbb{Z} $$ Por tanto, la ecuación diferencial admite también las soluciones constantes: $$ y(x)=\frac{\pi}{2}+n\pi, \qquad n\in\mathbb{Z} $$ Sin embargo, ninguna de estas soluciones cumple la condición inicial y(0)=0. En consecuencia, no son soluciones del problema de Cauchy que estamos resolviendo.
Por tanto, la solución que satisface la condición inicial dada es:
$$ \boxed{y(x)=\arctan(x)} $$
