Ejercicio resuelto 7: Resolución de una ecuación diferencial

En este ejercicio vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial:

$$ y' + 2x = 0 $$

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que la derivada de mayor orden que aparece es \( y' \).

Además, puede escribirse en la forma \( y' = f(x)\cdot g(y) \), donde \( f(x) = -2x \) y \( g(y) = 1 \).

Por esta razón, podemos aplicar el método de separación de variables.

El primer paso consiste en despejar la derivada:

$$ y' = -2x $$

Ahora expresamos la derivada en forma diferencial:

$$ \frac{dy}{dx} = -2x $$

Separando las variables obtenemos:

$$ dy = -2x \, dx $$

Una vez separadas las variables, integramos ambos miembros de la ecuación:

$$ \int dy = \int -2x \, dx $$

La integral del miembro izquierdo es simplemente \( y \), mientras que la integral del miembro derecho es:

$$ -x^2 + c $$

Por tanto, llegamos a la expresión:

$$ y = -x^2 + c $$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial, donde \( c \) representa una constante arbitraria de integración.

$$ y = -x^2 + c $$

En conclusión, mediante la separación de variables y la integración de ambos miembros, hemos obtenido la solución general de la ecuación diferencial propuesta.

Y así sucesivamente.