Ejercicio resuelto de una ecuación diferencial de segundo orden
Vamos a resolver paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ y''+2y'+3y=0 $$
Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. En este caso, los coeficientes son a=1, b=2, c=3.
Para hallar la solución, comenzamos planteando la ecuación característica asociada. Utilizamos la variable auxiliar t:
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
Sustituimos los coeficientes de nuestra ecuación:
$$ 1 \cdot t^2 + 2 \cdot t + 3 = 0 $$
$$ t^2 + 2t + 3 = 0 $$
Ahora resolvemos esta ecuación de segundo grado mediante la fórmula general:
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(3)}}{2} $$
Calculamos el discriminante paso a paso:
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2} $$
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} $$
Como el discriminante es negativo, la ecuación característica no tiene raíces reales, sino dos raíces complejas conjugadas. Para calcularlas, recurrimos a los números complejos:
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{8 \cdot (-1)}}{2} $$
Recordemos que la unidad imaginaria cumple i2=-1. Por tanto, podemos escribir:
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{8 \cdot i^2}}{2} $$
$$ t = \frac{-2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2} $$
A continuación, simplificamos la raíz cuadrada de 8:
$$ t = \frac{-2 \pm i \cdot \sqrt{2^3}}{2} $$
$$ t = \frac{-2 \pm i \cdot 2 \sqrt{2}}{2} $$
$$ t = -1 \pm i \sqrt{2} $$
Por tanto, la ecuación característica tiene las siguientes raíces complejas conjugadas:
$$ t = -1 \pm i \sqrt{2} = \begin{cases} t_1 = -1+i\sqrt{2} \\ \\ t_2 = -1-i\sqrt{2} \end{cases} $$
Estas raíces tienen la forma general t=α±iβ. Al compararlas con el resultado obtenido, identificamos inmediatamente los valores:
$$ \alpha=-1 $$
$$ \beta=\sqrt{2} $$
Cuando la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene dos raíces complejas conjugadas de la forma α±iβ, la solución general real se escribe como:
$$ y = c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x) $$
Solo queda sustituir α = -1 y β = \sqrt{2} en esta expresión:
$$ y = c_1 e^{-x} \cos(\sqrt{2} x) + c_2 e^{-x} \sin(\sqrt{2} x) $$
Esta es la solución general real de la ecuación diferencial. Las constantes c1 y c2 son constantes reales arbitrarias y sus valores concretos solo pueden determinarse si se proporcionan condiciones iniciales o condiciones adicionales.
La solución combina una oscilación, representada por las funciones seno y coseno, con el factor exponencial e-x. Como este factor disminuye al aumentar x, la amplitud de las oscilaciones también disminuye progresivamente.
