Ejercicio resuelto de una ecuación diferencial de variables separables

En este ejercicio vamos a resolver, paso a paso, la siguiente ecuación diferencial:

$$ y' = - \frac{1+y}{x^2} $$

Estamos ante una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que puede resolverse mediante el método de separación de variables. La idea consiste en agrupar en un miembro todos los términos que dependen de $y$ y, en el otro, los que dependen de $x$.

Antes de comenzar, conviene observar que la ecuación no está definida en $x=0$. Por esta razón, las soluciones deben considerarse en intervalos contenidos en $(-\infty,0)$ o en $(0,\infty)$.

Separación de variables

Para separar las variables, suponemos inicialmente que $1+y \neq 0$, es decir, que $y \neq -1$. De este modo podemos dividir ambos miembros entre $1+y$:< /p>

$$ \frac{1}{1+y}\, y' = - \frac{1}{x^2} $$

Escribimos ahora $y'$ en la forma dy/dx:

$$ \frac{1}{1+y}\, \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{x^2} $$

Esto nos permite separar las variables:

$$ \frac{1}{1+y}\, dy = - \frac{1}{x^2}\, dx $$

Integración de ambos miembros

Una vez separadas las variables, integramos ambos miembros de la ecuación:

$$ \int \frac{1}{1+y}\, dy = \int -\frac{1}{x^2}\, dx $$

Podemos escribir el segundo miembro utilizando una potencia de $x$:

$$ \int \frac{1}{1+y}\, dy = - \int x^{-2}\, dx $$

Recordemos que

$$ \int x^{-2}\, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}. $$

Por tanto,

$$ \int \frac{1}{1+y}\, dy = \frac{1}{x} + c_1 $$

En el primer miembro, una primitiva de $\frac{1}{1+y}$ con respecto a $y$ es $\ln|1+y|$. Así obtenemos

$$ \ln |1+y| = \frac{1}{x} + c_1 $$

Despeje de la función $y$

El siguiente paso consiste en eliminar el logaritmo. Para ello, aplicamos la función exponencial a ambos miembros:

$$ |1+y| = e^{\frac{1}{x}+c_1} $$

Utilizando las propiedades de las potencias, podemos escribir

$$ |1+y| = e^{c_1} e^{\frac{1}{x}} $$

Como $e^{c_1}>0$, al eliminar el valor absoluto podemos incorporar el signo a una nueva constante arbitraria $c \neq 0$. De este modo,

$$ 1+y = c\, e^{\frac{1}{x}} $$

Finalmente, despejamos $y$:

$$ y = c\, e^{\frac{1}{x}} - 1, \qquad c \neq 0. $$

Esta expresión representa todas las soluciones no constantes obtenidas mediante la separación de variables.

Comprobación de la solución constante

Durante el procedimiento hemos dividido entre $1+y$. Esta operación exige que $1+y \neq 0$, por lo que hemos excluido temporalmente el caso

$$ y=-1. $$

Es importante comprobar por separado si esta función también satisface la ecuación diferencial original:

$$ y' = - \frac{1+y}{x^2}. $$

Como $y=-1$ es una función constante, su derivada es

$$ y'=0. $$

Al sustituir $y=-1$ en el segundo miembro, obtenemos

$$ -\frac{1+(-1)}{x^2} = -\frac{0}{x^2}=0. $$

Por tanto, se cumple

$$ y' = -\frac{1+(-1)}{x^2} = 0, $$

lo que confirma que $y=-1$ también es una solución para todo $x \neq 0$.

$$ \forall\, x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}, \quad y=-1 \implies y'=0 $$

Solución general

La solución constante $y=-1$ puede incorporarse a la familia de soluciones obtenida anteriormente simplemente tomando $c=0$. Por consiguiente, todas las soluciones pueden escribirse de forma compacta como

$$ y = c\, e^{\frac{1}{x}} - 1, \qquad c \in \mathbb{R}. $$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial en cualquier intervalo que no contenga $x=0$.

Conclusión

Hemos resuelto la ecuación diferencial

$$ y' = - \frac{1+y}{x^2} $$

mediante el método de separación de variables. Tras separar las variables, integrar y despejar la función $y$, obtenemos la solución general

$$ \boxed{y = c\, e^{\frac{1}{x}} - 1}, \qquad c \in \mathbb{R}. $$

La solución es válida en cualquier intervalo contenido en $(-\infty,0)$ o en $(0,\infty)$, ya que la ecuación diferencial no está definida en $x=0$. Además, para $c=0$ recuperamos la solución constante

$$ y=-1. $$