Ejercicio resuelto de una ecuación diferencial homogénea de primer orden
En este ejercicio resolveremos paso a paso la siguiente ecuación diferencial homogénea de primer orden:
$$ xyy'=2x^2+y^2 $$
El primer paso consiste en despejar la derivada \(y'\). Para ello, dividimos ambos miembros entre \(xy\), suponiendo que \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\):
$$ \frac{ xyy' }{xy} = \frac{ 2x^2+y^2 }{xy} $$
$$ y' = \frac{2x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} $$
$$ y' = \frac{2x}{y} + \frac{y}{x} $$
La ecuación obtenida es una ecuación diferencial homogénea de primer orden, ya que el segundo miembro depende únicamente del cociente \(y/x\). En otras palabras, puede escribirse en la forma \(y' = f(y/x)\).
Para resolver este tipo de ecuaciones resulta conveniente introducir la variable auxiliar t = y/x:
$$ t = \frac{y}{x} $$
De esta sustitución se deduce inmediatamente que:
$$ y = t \cdot x $$
Como \(t\) depende de \(x\), derivamos el producto aplicando la regla correspondiente:
$$ y' = \frac{d}{dx}[ t \cdot x ] = t'x + t $$
Ahora sustituimos y = tx en la ecuación diferencial:
$$ y' = \frac{2x}{y} + \frac{y}{x} $$
$$ y' = \frac{2x}{tx} + \frac{tx}{x} $$
$$ y' = \frac{2}{t} + t $$
A continuación, reemplazamos \(y'\) por la expresión obtenida anteriormente:
$$ t'x + t = \frac{2}{t} + t $$
Restamos \(t\) en ambos miembros para simplificar la ecuación:
$$ t'x = \frac{2}{t} $$
Escribimos ahora la derivada en forma diferencial:
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x = \frac{2}{t} $$
La ecuación ya está preparada para aplicar el método de separación de variables.
Separamos las variables \(t\) y \(x\):
$$ t \cdot dt = \frac{2}{x} \cdot dx $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int t \cdot dt = \int \frac{2}{x} \cdot dx $$
$$ \int t \cdot dt = 2 \cdot \int \frac{1}{x} \cdot dx $$
Recordemos que la primitiva de \(1/x\) es \(\ln|x|\):
$$ \int t \cdot dt = 2 \cdot \ln|x| + C $$
La integral del primer miembro es:
$$ \frac{t^2}{2} = 2 \cdot \ln|x| + C $$
Multiplicamos ambos miembros por \(2\):
$$ t^2 = 4 \cdot \ln|x| + 2C $$
Como \(2C\) sigue siendo una constante arbitraria, podemos volver a representarla simplemente por \(C\):
$$ t^2 = 4 \cdot \ln|x| + C $$
Por último, deshacemos el cambio de variable sustituyendo nuevamente \(t = y/x\):
$$ \left(\frac{y}{x}\right)^2 = 4 \cdot \ln|x| + C $$
$$ \frac{y^2}{x^2} = 4 \cdot \ln|x| + C $$
$$ y^2 = x^2 \cdot \left(4 \cdot \ln|x| + C\right) $$
$$ y^2 = 4 \cdot x^2 \cdot \ln|x| + C \cdot x^2 $$
Esta expresión corresponde a la solución general en forma implícita. Si queremos escribir la solución de forma explícita, basta con tomar la raíz cuadrada de ambos miembros:
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{x^2 \cdot \left(4 \cdot \ln|x| + C\right)} $$
$$ |y| = |x| \sqrt{4 \cdot \ln|x| + C} $$
Por tanto, las dos ramas de la solución son:
$$ y = \pm x \sqrt{4 \cdot \ln|x| + C} $$
Esta es la solución general de la ecuación diferencial. Es válida en aquellos intervalos que no contienen el punto \(x=0\) y para los valores de \(x\) en los que se cumple la condición \(4 \cdot \ln|x| + C \geq 0\).
Con ello queda resuelta la ecuación diferencial.
