Ejercicio resuelto de una ecuación diferencial lineal de primer orden
Veamos paso a paso cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden con una condición inicial:
$$ \begin{cases} y' = y - 1 \\ \\ y(0) = 7 \end{cases} $$
Estamos ante un problema de Cauchy, ya que conocemos la condición inicial $y(0) = 7$. Nuestro objetivo es encontrar la función $y(x)$ que satisface tanto la ecuación diferencial como esta condición.
La ecuación también es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Podemos escribirla en la forma general $y' + a(x)y = b(x)$:
$$ y' - y = -1 $$
Por tanto, en este caso tenemos $a(x) = -1$ y $b(x) = -1$.
Para resolverla, aplicamos el método de variación de la constante:
$$ y = e^{-\int a(x)\, dx}\,\Bigg(\int b(x)\, e^{\int a(x)\, dx}\, dx + c \Bigg). $$
Sustituimos $a(x) = -1$ y $b(x) = -1$ en la fórmula:
$$ y = e^{-\int -1\, dx}\,\Bigg(\int -1 \cdot e^{\int -1\, dx}\, dx + c \Bigg). $$
Como $\int -1\, dx = -x$, obtenemos
$$ y = e^x \,\Big( - \int e^{-x}\, dx + c \Big). $$
Ahora calculamos la integral:
$$ \int e^{-x}\, dx = -e^{-x}. $$
Sustituyendo este resultado, tenemos
$$ y = e^x \,\big( -(-e^{-x}) + c \big) $$
$$ y = e^x \,( e^{-x} + c ) $$
$$ y = 1 + c e^x. $$
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es
$$ y = c e^x + 1. $$
Para determinar el valor de la constante $c$, utilizamos la condición inicial $y(0) = 7$:
$$ 7 = c e^0 + 1 \quad \Rightarrow \quad c = 6. $$
Así obtenemos la solución particular del problema de Cauchy:
$$ y = 6e^x + 1. $$
Comprobación. En primer lugar, la solución cumple la condición inicial, ya que para $x=0$ se obtiene $y(0)=6e^0+1=7$.
También podemos comprobar directamente que satisface la ecuación diferencial. Sustituimos $y = 6e^x + 1$ en $y' = y - 1$: $$ y' = y - 1, \qquad D(6e^x + 1) = (6e^x + 1) - 1, $$ $$ 6e^x = 6e^x. $$ La igualdad se cumple, por lo que $y = 6e^x + 1$ es efectivamente la solución buscada.
Método alternativo: separación de variables
La misma ecuación puede resolverse de una forma diferente. Como las variables pueden separarse, partimos de
$$ \frac{dy}{dx} = y - 1 $$
y agrupamos en cada miembro los términos correspondientes a cada variable:
$$ \frac{1}{y-1}\, dy = dx. $$
Integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{1}{y-1}\, dy = \int dx $$
y obtenemos
$$ \ln|y-1| = x + c. $$
Al exponenciar ambos miembros, resulta
$$ |y - 1| = e^{x+c}. $$
Esta expresión puede escribirse de forma equivalente como
$$ y - 1 = \pm e^{x+c}. $$
Aplicamos ahora la condición inicial $y(0) = 7$:
$$ 6 = \pm e^c. $$
Como el miembro izquierdo es positivo, en este problema debemos tomar el signo positivo:
$$ y - 1 = e^{x+c}. $$
Nota. El signo $\pm$ y el factor $e^c$ pueden englobarse en una única constante real no nula: $$ y - 1 = \pm e^{x+c} = (\pm e^c)\, e^x = c e^x. $$ Si admitimos también $c=0$, queda incluida la solución constante $y=1$. De este modo, la familia completa de soluciones puede escribirse de forma compacta como $$ y - 1 = c e^x. $$
Por tanto, volvemos a obtener la misma solución general:
$$ y = c e^x + 1. $$
Finalmente, al imponer la condición inicial $y(0)=7$, obtenemos $c=6$ y llegamos de nuevo a la misma solución particular:
$$ y = 6e^x + 1. $$
