Exercice 15bis : résolution d'une équation différentielle à variables séparables
Résolvons l'équation différentielle suivante :
$$ yy' - 3x^2 = 2 $$
La première étape consiste à isoler le terme contenant la dérivée :
$$ yy' = 2 + 3x^2 $$
Si \( y \neq 0 \), on peut également écrire l'équation sous la forme :
$$ y' = \frac{2 + 3x^2}{y} $$
Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables, de la forme \( y' = f(x)g(y) \), avec :
$$ f(x) = 2 + 3x^2 \qquad \text{et} \qquad g(y) = \frac{1}{y} $$
Ce type d'équation se résout grâce à la méthode de séparation des variables.
Remplaçons d'abord \( y' \) par \( \dfrac{dy}{dx} \) :
$$ y \cdot \frac{dy}{dx} = 2 + 3x^2 $$
Regroupons ensuite les termes contenant \( y \) à gauche et ceux contenant \( x \) à droite :
$$ y \, dy = (2 + 3x^2)\, dx $$
Il ne reste plus qu'à intégrer les deux membres :
$$ \int y\,dy = \int (2 + 3x^2)\,dx $$
Une primitive de \( y \) est \( y^2/2 \), tandis qu'une primitive de \( 2 + 3x^2 \) est \( 2x + x^3 \). On obtient donc :
$$ \frac{y^2}{2} = 2x + x^3 + C $$
Multiplions ensuite les deux membres par 2 :
$$ y^2 = 4x + 2x^3 + 2C $$
Comme \( 2C \) est encore une constante arbitraire, on la remplace simplement par une nouvelle constante \( C \) :
$$ y^2 = 2x^3 + 4x + C $$
Cette expression est la forme implicite de la solution générale.
Pour obtenir la forme explicite, il suffit de prendre la racine carrée des deux membres :
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{2x^3 + 4x + C} $$
Or, comme \( \sqrt{y^2} = |y| \), on en déduit :
$$ |y| = \sqrt{2x^3 + 4x + C} $$
Les deux solutions possibles sont donc :
$$ y = \pm \sqrt{2x^3 + 4x + C} $$
Chaque branche de la solution est valable sur tout intervalle où le polynôme \( 2x^3 + 4x + C \) est strictement positif.
Remarque. Cette équation différentielle n'admet aucune solution constante. En effet, si \( y(x)=k \), alors \( y'=0 \), ce qui conduirait à l'égalité \( -3x^2=2 \), impossible pour tout réel \( x \).
La solution générale peut donc s'écrire sous la forme implicite :
$$ y^2 = 2x^3 + 4x + C $$
ou, de façon équivalente, sous la forme explicite :
$$ y = \pm \sqrt{2x^3 + 4x + C} $$
La résolution est maintenant terminée.
