Groupe abélien

Qu'est-ce qu'un groupe abélien ?

Un groupe abélien est un groupe dans lequel l'opération choisie est commutative, c'est-à-dire que l'ordre des éléments n'influence pas le résultat.

On parle donc aussi de groupe commutatif. Le nom « abélien » fait référence au mathématicien norvégien Niels Henrik Abel, dont les travaux ont profondément marqué l'algèbre moderne.

Un exemple simple

Le groupe des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \), avec l'addition comme opération, est l'exemple type de groupe abélien.

$$ (\mathbb{Z}, +) $$

L'addition y est commutative, ce qui signifie que :

$$ a+b = b+a \ \ \ \ \ \forall \ a,b \in \mathbb{Z} $$

Remarque : L'ensemble \( (\mathbb{Z}, +) \) est réellement un groupe, car il vérifie l'associativité : $$ a + (b+c) = (a+b)+c $$ il possède un élément neutre : $$ a+0 = 0+a = a $$ et chaque élément admet un inverse additif : $$ a + (-a) = (-a)+a = 0 $$

Pour comparer

Si l'on prend maintenant les entiers avec la multiplication \( (\mathbb{Z}, \cdot) \), la situation change. Cet ensemble n'est pas un groupe, car zéro n'a pas d'inverse multiplicatif. Il est en effet impossible de définir un nombre qui, multiplié par zéro, redonnerait un élément neutre.

$$ (\mathbb{Z}, \cdot) $$

Ne satisfaisant pas les axiomes d'un groupe, cette structure ne peut donc pas être qualifiée de groupe abélien.

Ce premier exemple permet de comprendre l'idée générale. Ensuite, de nombreuses autres structures algébriques reposent sur les mêmes principes et apparaissent dans des domaines variés, de la théorie des nombres à la physique mathématique.