Les sous-groupes engendrés par un ensemble d’éléments
Le sous-groupe \( \langle X \rangle \) engendré par un ensemble \( X \subseteq G \), dans un groupe \( (G, *) \), est l'ensemble de tous les éléments que l'on peut obtenir en combinant de différentes façons les éléments de \( X \) et leurs inverses à l'aide de l'opération du groupe.
Si l'ensemble \( X \) ne contient qu'un seul élément \( X = \{ x \} \), on parle d'un sous-groupe cyclique.
Autrement dit, \( \langle X \rangle \) est le plus petit sous-groupe qui renferme les éléments de \( X \) et toutes les combinaisons qu'on peut former à partir d'eux au moyen de l'opération du groupe.
Un premier exemple
Prenons le groupe additif \( (\mathbb{Z}, +) \), c'est-à-dire l'ensemble des entiers muni de l'addition.
Considérons le sous-ensemble \( X = \{ 2, 3 \} \).
Le sous-groupe engendré par \( X \) comprend toutes les combinaisons linéaires entières de 2 et 3 :
$$ \langle X \rangle = \{ 2a + 3b \ : \ a, b \in \mathbb{Z} \} $$
où \( a \) et \( b \) sont des coefficients entiers.
Quelques exemples de calcul :
$$ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 $$
$$ 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7 $$
$$ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8 $$
$$ 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10 $$
$$ (-2) + 3 = 1 $$
$$ \vdots $$
On remarque que la combinaison \( -2 + 3 = 1 \) permet d'obtenir l'unité. À partir de là, tout entier peut être obtenu en multipliant 1 par un entier quelconque. Ainsi, l'ensemble \( X \) engendre tout le groupe des entiers :
$$ \langle X \rangle = (\mathbb{Z}, +) $$
Remarque : tout sous-groupe contient toujours l'élément neutre du groupe. Dans \( (\mathbb{Z}, +) \), cet élément est \( 0 \), que l'on obtient simplement en posant \( a = 0, b = 0 \) : $$ 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 0 $$
Deuxième exemple
Examinons à présent le même groupe \( (\mathbb{Z}, +) \), mais avec l'ensemble \( X = \{ 2, 6 \} \).
$$ X = \{ 2, 6 \} $$
La somme de nombres pairs reste toujours paire, il est donc clair que le sous-groupe engendré par \( X \) ne contiendra que des nombres pairs.
Quelques combinaisons :
$$ 2 + (-2) = 0 $$
$$ 2 + 6 \cdot 0 = 2 $$
$$ 2 \cdot 2 + 6 \cdot 0 = 4 $$
$$ 0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 6 $$
$$ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 8 $$
$$ 2 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 10 $$
Le sous-groupe engendré par \( X = \{ 2, 6 \} \) est donc celui des entiers pairs :
$$ \langle X \rangle = (2 \mathbb{Z}, +) $$
Troisième exemple
Observons maintenant le groupe additif \( (\mathbb{Z}_6, +) \), c'est-à-dire les entiers modulo 6 munis de l'addition :
$$ \mathbb{Z}_6 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} $$
Choisissons le sous-ensemble \( X = \{ 2, 4 \} \) :
$$ X = \{ 2, 4 \} $$
Le sous-groupe engendré par \( X \) contient toutes les combinaisons possibles de 2 et 4, calculées modulo 6 :
$$ 2 + 2 = 4 \mod 6 $$
$$ 2 + 4 = 6 \mod 6 = 0 $$
$$ 4 + 4 = 8 \mod 6 = 2 $$
$$ 2 + 2 + 2 = 6 \mod 6 = 0 $$
$$ 4 + 4 + 4 = 12 \mod 6 = 0 $$
$$ 2 + 4 + 4 = 10 \mod 6 = 4 $$
$$ \vdots $$
On voit que toutes les combinaisons de 2 et 4 donnent, modulo 6, l'un des éléments suivants : \( 0, 2, 4 \).
Le sous-groupe engendré est donc :
$$ \langle X \rangle = \{ 0, 2, 4 \} $$
Ce sous-groupe contient l'élément neutre \( 0 \), et chacun de ses éléments a un inverse dans le sous-groupe lui-même : l'inverse de \( 2 \) est \( 4 \), et inversement, puisque \( 2 + 4 = 6 \mod 6 = 0 \). Le sous-groupe \( \langle X \rangle \) est donc bien fermé pour l'addition modulo 6.
Ce dernier exemple montre comment, même dans un cadre fini comme \( \mathbb{Z}_6 \), la logique de génération d'un sous-groupe reste la même : à partir d'un petit ensemble d'éléments, on reconstruit toute une structure interne cohérente.
