Groupes non abéliens
Qu’est-ce qu’un groupe non abélien ?
Un groupe non abélien est un groupe \( (S,*) \) dans lequel l’opération * ne vérifie pas la propriété commutative.
On les appelle aussi groupes non commutatifs. Le terme renvoie au mathématicien norvégien Niels Henrik Abel, qui a largement contribué au développement de l’algèbre moderne.
Un exemple concret
L’ensemble des matrices réelles inversibles d’ordre \( 2 \times 2 \), noté \( M_2 \), forme un groupe \( (M_2, \cdot) \) pour la multiplication des matrices ( \(\cdot\) ).
$$ (\ M_2\ , \ \cdot\ ) \ \ \ \ \text{où} \ \ M_2 = \text{matrices \( 2 \times 2 \) inversibles} $$
Ce groupe est un groupe multiplicatif car il vérifie toutes les propriétés nécessaires :
- Le produit de deux matrices \( 2 \times 2 \) appartient encore à \( M_2 \) : $$ \forall \ A,B \in M_2 \ \Rightarrow \ AB \in M_2 $$
- Le produit matriciel est associatif : $$ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $$
- La matrice identité (I) joue le rôle d’élément neutre : $$ A \cdot I = A \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A $$
- Chaque matrice inversible \( A \in M_2 \) possède un inverse \( A^{-1} \) : $$ A \cdot A^{-1} = I $$
Note : On se limite ici aux matrices inversibles, celles dont le déterminant est non nul. Sans cette condition, certaines matrices ne seraient pas inversibles et l’ensemble ne formerait plus un groupe.
Pourquoi \( (M_2, \cdot) \) est-il non abélien ?
Parce que l’ordre de la multiplication change le résultat. Pour le voir, prenons deux matrices :
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$
Calculons d’abord \( AB \) :
$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $$
Calculons maintenant \( BA \) :
$$ BA = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} $$
Les produits sont différents, donc :
$$ AB \ne BA $$
Une seule contre-exemple suffit pour conclure que la multiplication matricielle n’est, en général, pas commutative. C’est précisément ce qui fait de \( (M_2, \cdot) \) un groupe non abélien.
Note : À l’inverse, le groupe \( (M_2, +) \), muni de l’addition matricielle, est un groupe abélien, car l’addition est toujours commutative : $$ \forall \ A,B \in M_2 \ \Rightarrow \ A+B = B+A $$
Ce premier exemple permet de comprendre l’idée centrale. Les groupes non abéliens jouent un rôle majeur en algèbre, en physique théorique et dans de nombreux domaines où l’ordre des opérations a une importance fondamentale.
