Les groupes cycliques
Un groupe cyclique est un groupe \( (G,*) \) dans lequel il existe un élément \( g \in G \), appelé générateur, tel que toutes les opérations successives de la loi du groupe appliquées à \( g \) permettent d'obtenir l'ensemble des éléments de \( G \).
Autrement dit, à partir d'un seul élément, on peut reconstruire tout le groupe en répétant l'opération de base.
Dans un groupe cyclique multiplicatif, l'ensemble \( G \) est composé de toutes les puissances de l'élément générateur :
$$ G = \{ g^n \ : \ n \in \mathbb{Z} \ \} $$
Dans un groupe cyclique additif, \( G \) est formé de tous les multiples de \( g \) :
$$ G = \{ g \cdot n \ : \ n \in \mathbb{Z} \ \} $$
Remarque : Dans un groupe cyclique, l'ensemble \( G \) coïncide avec le sous-groupe \( \langle g \rangle \) engendré par \( g \) : $$ G = \langle g \rangle = \{ g^1, ..., g^n \} $$ où \( g^n \) désigne l'élément neutre du groupe.
L'ordre du générateur est le plus petit entier positif \( n \) tel que : $$ g^n = u $$ où \( u \) est l'élément neutre. Si un tel entier n'existe pas, le générateur est dit d'ordre infini.
Un exemple simple : le groupe \( (\mathbb{Z}_4, +) \)
Considérons le groupe \( (\mathbb{Z}_4, +) \), formé des entiers \( \mathbb{Z}_4 = \{ 0,1,2,3 \} \) avec l'addition modulaire. Ce groupe est cyclique, car un seul élément suffit à générer tous les autres :
$$ g = 1 $$
En répétant l'addition de \( 1 \), on obtient successivement :
$$ 1^1 = 1 $$ $$ 1^2 = 1+1 = 2 $$ $$ 1^3 = 1+1+1 = 3 $$ $$ 1^4 = 1+1+1+1 = 0 $$
Après quatre additions, on retrouve l'élément neutre \( e = 0 \). La période de l'élément \( 1 \) est donc \( 4 \).
Remarque : Dans ce contexte, la notation \( 1^3 \) indique une addition répétée, non une puissance au sens algébrique.
Le sous-groupe engendré par \( 1 \) est :
$$ \langle 1 \rangle = \{ 0,1,2,3 \} = G $$
Il contient quatre éléments : son ordre est donc \( 4 \).
Autres éléments de \( \mathbb{Z}_4 \)
L'élément \( 2 \) n'est pas un générateur, car ses multiples ne permettent pas d'obtenir tous les éléments du groupe :
$$ 2^0 = 0 $$ $$ 2^1 = 2 $$ $$ 2^2 = 2+2 = 0 $$
La période de \( 2 \) est \( 2 \), et le sous-groupe correspondant est :
$$ \langle 2 \rangle = \{ 0,2 \} $$
En revanche, \( 3 \) est aussi un générateur :
$$ 3^1 = 3 $$ $$ 3^2 = 3+3 = 2 $$ $$ 3^3 = 3+3+3 = 1 $$ $$ 3^4 = 3+3+3+3 = 0 $$
car il engendre le même ensemble que \( 1 \) :
$$ \langle 3 \rangle = \{ 0,1,2,3 \} = G $$
Sa période est également \( 4 \).
Remarque : L'élément \( 0 \) ne peut pas être générateur, car il est l'élément neutre du groupe.
Récapitulatif
Les sous-groupes engendrés par les éléments de \( (\mathbb{Z}_4, +) \) sont :
| Sous-groupe | Ordre | Période |
|---|---|---|
| \(\langle 0 \rangle = \{ 0 \}\) | 1 | \( 0^1 = 0 \) |
| \(\langle 1 \rangle = \{ 0,1,2,3 \}\) | 4 | \( 1^4 = 0 \) |
| \(\langle 2 \rangle = \{ 0,2 \}\) | 2 | \( 2^2 = 0 \) |
| \(\langle 3 \rangle = \{ 0,1,2,3 \}\) | 4 | \( 3^4 = 0 \) |
Seuls les sous-groupes engendrés par \( 1 \) et \( 3 \) couvrent tout \( \mathbb{Z}_4 \) :
$$ \langle 1 \rangle = \langle 3 \rangle = \{ 0,1,2,3 \} = \mathbb{Z}_4 $$
Les éléments \( 1 \) et \( 3 \) sont donc les générateurs du groupe cyclique \( (\mathbb{Z}_4, +) \).
Propriétés essentielles
Les groupes cycliques possèdent plusieurs propriétés remarquables :
- Tout groupe cyclique est aussi un groupe abélien, c'est-à-dire que sa loi de composition est commutative.
- Si \( (G, *) \) est un groupe cyclique, tous ses sous-groupes sont également cycliques.
Exemple : Le groupe \( (\mathbb{Z}_4, +) \) est un groupe cyclique d'ordre \( n = 4 \). Ses sous-groupes sont illustrés ci-dessous :
Chaque sous-groupe contient l'élément neutre \( e = 0 \) et y revient après un nombre fini d'opérations (sa période). - Tout groupe cyclique fini d'ordre \( n \) est isomorphe au groupe \( \mathbb{Z}_n \), c'est-à-dire au groupe des entiers modulo \( n \).
- Un élément \( m \in G \) est un générateur du groupe cyclique fini d'ordre \( n \) si, et seulement si, \( m \) et \( n \) sont premiers entre eux, autrement dit si \( \mathrm{PGCD}(n, m) = 1 \).
Exemple : Dans \( (\mathbb{Z}_4, +) \), d'ordre \( n = 4 \), les générateurs sont \( 1 \) et \( 3 \), car \( \mathrm{PGCD}(1, 4) = 1 \) et \( \mathrm{PGCD}(3, 4) = 1 \).
- Théorème de Cauchy : Si \( (G, *) \) est un groupe cyclique fini d'ordre \( n \), et que \( p \) est un nombre premier qui divise \( n \), alors \( G \) contient au moins un élément d'ordre \( p \).
- Corollaire : Si l'ordre \( n \) d'un groupe fini est un nombre premier, ce groupe est nécessairement cyclique.
- Tout groupe cyclique infini est isomorphe à \( (\mathbb{Z}, +) \), le groupe des entiers muni de l'addition, dont \( 1 \) est le générateur.
Les groupes cycliques constituent donc un modèle fondamental en algèbre : simples à comprendre, ils jouent un rôle essentiel dans l'étude de la structure interne des groupes et des symétries.
