Les éléments inverses dans les groupes

Dans tout groupe \( G \), chaque élément \( a \) possède un élément inverse \( b = a^{-1} \). En le combinant avec \( a \) par l’opération \( * \), on obtient l’élément neutre \( e \) du groupe : $$ a * b = b * a = e $$

Cette propriété est l’un des piliers de la théorie des groupes. Elle garantit qu’à chaque opération correspond une opération inverse, ce qui rend la structure du groupe à la fois cohérente et réversible.

Autrement dit, l’inverse d’un élément annule son effet dans le cadre de l’opération définie sur le groupe.

$$ a * a^{-1} = a^{-1} * a = e $$

Le fait que tout élément possède un inverse assure qu’aucune opération dans le groupe n’est irréversible. C’est ce qui distingue profondément les groupes d’autres structures algébriques plus limitées.

Il faut cependant remarquer que la notion d’inverse n’est pas toujours indépendante de l’ordre des opérations. Dans les groupes non abéliens, où l’ordre des facteurs influence le résultat, ce détail prend toute son importance.

Un premier exemple

Considérons le groupe additif des entiers \( (\mathbb{Z}, +) \). Ici, le zéro \( 0 \) joue le rôle d’élément neutre. L’inverse d’un entier \( a \) est simplement son opposé \( -a \), puisque \( a + (-a) = 0 \).

Par exemple, l’inverse de 5 est -5, car $ 5 + (-5) = 0 $.

Autre exemple : le groupe multiplicatif

Dans le groupe des réels non nuls \( (\mathbb{R}^*, \cdot) \), l’élément neutre est \( 1 \). L’inverse d’un réel \( a \) (différent de zéro) est son réciproque \( \frac{1}{a} \), car \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \).

Par exemple, l’inverse de 5 est 1/5, puisque $ 5 \cdot \frac{1}{5} = 1 $.

Ce qu’il faut retenir

Voici deux résultats fondamentaux à propos des éléments inverses :

• Chaque élément d’un groupe possède un inverse unique.

  Démonstration. Supposons qu’un même élément \( a \) ait deux inverses, \( a' \) et \( a'' \). On a par définition : $$ a' = e * a' $$ Or, si \( a'' \) est aussi un inverse de \( a \), alors \( e = a'' * a \), d’où : $$ a' = (a'' * a) * a' = a'' * (a * a') = a'' * e = a'' $$. Les deux inverses sont donc identiques, ce qui prouve l’unicité.

• L’inverse d’un produit est le produit des inverses pris dans l’ordre inverse : $$ (a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} $$

  Autrement dit, pour trouver l’inverse d’un produit, il suffit d’inverser l’ordre des inverses. Ce résultat découle directement des propriétés de base des groupes, notamment l’associativité et l’existence d’inverses.

  Démonstration. Vérifions que le produit de \( a*b \) par \( b^{-1}*a^{-1} \) donne bien l’élément neutre \( e \) : $$ (a*b)*(b^{-1}*a^{-1}) = e $$. En utilisant l’associativité : $$ (a*(b*b^{-1}))*a^{-1} = (a*e)*a^{-1} = a*a^{-1} = e. $$ Cela montre que \( b^{-1} * a^{-1} \) est bien l’inverse de \( a*b \).

  Une erreur courante consiste à penser que l’inverse de \( a*b \) est \( a^{-1}*b^{-1} \). Or, dans un groupe non abélien, où \( a*b \neq b*a \), l’ordre des facteurs est essentiel et ne peut être interverti.

Les éléments inverses sont donc bien plus qu’un simple détail technique : ils permettent de comprendre pourquoi les opérations dans un groupe sont toujours réversibles, et constituent une clé de voûte de l’algèbre moderne.