Puissance d’un élément d’un groupe

En théorie des groupes, la puissance d’un élément $g \in G$ dans un groupe $(G,*)$ correspond à la répétition de l’opération du groupe appliquée à cet élément. Autrement dit, on compose $g$ avec lui-même un total de $n$ fois : $$ g^n = \underbrace{g*g*...*g}_{n \ \text{fois}} $$ Cette définition formalise une idée simple : multiplier, additionner ou plus généralement combiner un élément avec lui-même dépend toujours de l’opération interne du groupe.

Le comportement des puissances peut varier considérablement selon la structure du groupe, ce qui en fait un outil central pour comprendre sa dynamique.

• Groupes additifs
  Dans un groupe additif $(G,+)$, la puissance revient à additionner plusieurs fois le même élément : $$ g^3 = g+g+g = 3g $$ Par exemple, dans $(\mathbb{Z},+)$ : $$ 2^3 = 2+2+2 = 6 $$
• Groupes multiplicatifs
  Dans un groupe multiplicatif $(G,\cdot)$, la puissance exprime une répétition de la multiplication : $$ g^3 = g \cdot g \cdot g $$ Par exemple, dans $(\mathbb{Z},\cdot)$ : $$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

La même notation $g^n$ peut donc représenter des opérations très différentes, tout dépend de la loi définie dans le groupe.

À retenir : même si l’on utilise souvent la somme et la multiplication comme exemples, les principes restent identiques dans tout groupe, quelle que soit l’opération choisie.

Le cas particulier de l’exposant zéro

Lorsque l’exposant est nul, la puissance d’un élément est toujours égale à l’élément neutre du groupe.

Dans un groupe additif : $$ g^0 = 0 $$

Exemple : $$ 2^0 = 0 $$ Le résultat est toujours l’élément neutre de l’addition.

Dans un groupe multiplicatif : $$ g^0 = 1 $$

Exemple : $$ 2^0 = 1 $$ Ici aussi, la puissance zéro renvoie systématiquement à l’élément neutre, qui est 1 pour la multiplication.

Exposants négatifs

Lorsque l’exposant est négatif, on utilise l’élément inverse. La règle consiste à appliquer l’opération du groupe à l’inverse de l’élément, autant de fois que l’indique la valeur absolue de l’exposant : $$ g^{n} = \underbrace{g^{-1}*g^{-1}*...*g^{-1}}_{n \ \text{fois}} \quad \text{avec } n<0 $$

Exemple :

Dans $(\mathbb{Z},+)$ : $$ 2^{-3} = (-2)+(-2)+(-2) = -6 $$

Dans $(\mathbb{Q},\cdot)$ : $$ 2^{-3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$

Propriétés fondamentales des puissances

Les puissances dans un groupe suivent les mêmes schémas que celles manipulées en algèbre élémentaire. Deux règles sont particulièrement utiles.

1. Addition des exposants lors d’un produit ou d’une composition répétée : $$ a^n * a^m = a^{n+m} $$

Exemple : $$ 2^3 + 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 10 $$

2. Multiplication des exposants lorsqu’une puissance est elle-même élevée à une puissance : $$ (a^n)^m = a^{n \cdot m} $$

Exemple : $$ (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 12 $$

Ce qu’il faut retenir est simple : pour manipuler des puissances dans un groupe, il suffit de respecter la loi de composition définie dans ce groupe. À partir de là, toutes les règles s’appliquent de manière cohérente.