Sous-groupes
Un sous-groupe d'un groupe \( (G, *) \) est un groupe \( (S, *) \) inclus dans \( (G, *) \), fermé pour la même opération \( * \) : $$ * : S \rightarrow S $$ et qui satisfait toutes les propriétés fondamentales d'un groupe : présence d'un élément neutre, existence d'inverses et associativité de l'opération.
Autrement dit, un sous-groupe est un plus petit groupe, parfaitement cohérent avec le groupe dont il fait partie. L'ensemble \( S \) du sous-groupe \( (S, *) \) est simplement un sous-ensemble de \( G \) :
$$ S \subseteq G $$
Ce sous-ensemble est stable pour la même loi de composition que le groupe initial.
Remarque : Un groupe \( (G, *) \) peut avoir un, plusieurs ou aucun sous-groupe. On appelle sous-groupes impropres ceux pour lesquels \( S = G \) ou \( S = \{ u \} \), ce dernier étant le sous-groupe trivial, réduit à l'élément neutre. Tous les autres sont des sous-groupes propres.
Tout sous-groupe \( (S, *) \) conserve la structure du groupe d'origine : il est associatif, contient le même élément neutre \( u \), et chaque élément possède son inverse dans \( S \) :
$$ s, s^{-1} \in S $$
Remarque : D'un point de vue plus abstrait, un sous-groupe peut être vu comme l'image d'un homomorphisme injectif de groupes : $$ F : (S, *) \rightarrow (S', *) $$ Cela signifie que les sous-groupes héritent des propriétés du groupe auquel ils appartiennent. Par exemple, si \( (G, *) \) est abélien, tout sous-groupe \( (S, *) \) l'est aussi.
Exemple pratique
Prenons le groupe multiplicatif \( (\mathbb{Q}_0, \cdot) \), formé de l'ensemble des nombres rationnels non nuls \( \mathbb{Q}_0 = \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \} \) :
$$ (\mathbb{Q}_0, \cdot) $$
L'élément neutre est \( u = 1 \).
Considérons maintenant les nombres rationnels positifs \( \mathbb{Q}^+ \). Ils forment un sous-groupe de \( (\mathbb{Q}_0, \cdot) \) :
$$ (\mathbb{Q}^+, \cdot) $$
Pourquoi ?
- \( \mathbb{Q}^+ \subseteq \mathbb{Q}_0 \).
- Il contient le même élément neutre \( u = 1 \).
- Il est fermé pour la multiplication : $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Q}^+, \quad a \cdot b \in \mathbb{Q}^+ $$
- L'opération est associative : $$ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c $$
- Chaque élément a son inverse dans \( \mathbb{Q}^+ \). Par exemple : $$ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$
On peut donc affirmer que \( (\mathbb{Q}^+, \cdot) \) est un sous-groupe de \( (\mathbb{Q}_0, \cdot) \).
Autres exemples
Exemple 2 : un groupe fini
Considérons le groupe \( (A, \cdot) \) défini sur l'ensemble \( A = \{ 1, -1 \} \), avec la multiplication :
$$ (A, \cdot) $$
Pourquoi \( (A, \cdot) \) est-il un groupe ? Parce qu'il possède un élément neutre \( e = 1 \), que chaque élément a un inverse $$ 1 \cdot 1 = e, \quad (-1) \cdot (-1) = e $$ et que la loi est fermée et associative.
Le sous-ensemble \( S = \{ 1 \} \) est un sous-groupe de \( (A, \cdot) \) :
$$ (S, \cdot) $$
En revanche, \( T = \{ -1 \} \) ne l'est pas, car le produit de ses éléments n'appartient pas à \( T \).
Vérifions cela avec les tables de multiplication :
| a · b | 1 |
|---|---|
| 1 | 1 |
\( S = \{ 1 \} \) est donc bien fermé, contient l'élément neutre et son unique élément est son propre inverse. Il s'agit donc d'un sous-groupe de \( A \).
Remarque : Le sous-groupe \( (S, \cdot) \) hérite des propriétés de \( (A, \cdot) \). Si \( A \) est abélien, \( S \) l'est aussi.
Regardons maintenant \( T = \{ -1 \} \) :
| a · b | -1 |
|---|---|
| -1 | 1 |
Le produit de deux éléments de \( T \) donne \( 1 \), qui n'appartient pas à \( T \). La condition de fermeture n'est donc pas respectée, et \( T \) n'est pas un sous-groupe.
Exemple 3 : le groupe \( (\mathbb{Z}_4, +) \)
Considérons maintenant le groupe \( (\mathbb{Z}_4, +) \), composé de l'ensemble \( \mathbb{Z}_4 = \{ 0, 1, 2, 3 \} \) avec l'addition modulaire :
$$ (\mathbb{Z}_4, +) $$
Il s'agit d'un groupe cyclique et d'un groupe abélien.
Voici sa table d'addition :
| a + b | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 0 | 1 | 2 |
Parmi les sous-ensembles possibles de \( \mathbb{Z}_4 \), seul {0,2} forme un sous-groupe, car :
- il est fermé pour l'addition : \( 0 + 2 = 2 \), \( 2 + 2 = 0 \), \( 0 + 0 = 0 \) ;
- il contient l'élément neutre \( e = 0 \) ;
- chaque élément y possède son inverse : \( 0 + 0 = 0 \), \( 2 + 2 = 0 \).
Sa table d'addition le confirme :
| a + b | 0 | 2 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 |
| 2 | 2 | 0 |
On a donc :
$$ (\{ 0, 2 \}, +) \subset (\mathbb{Z}_4, +) $$
Ce sous-groupe hérite des propriétés du groupe \( (\mathbb{Z}_4, +) \) : il est à la fois cyclique et abélien.
Remarque : Le sous-ensemble trivial \( \{ 0 \} \) est également un sous-groupe, car il est fermé, contient l'élément neutre et chaque élément (ici, \( 0 \)) est son propre inverse.
Les sous-groupes permettent ainsi d'explorer la structure interne d'un groupe : comprendre ses sous-groupes, c'est souvent comprendre sa logique profonde.
