Sous-groupes cycliques

Un sous-groupe cyclique d’un groupe $ (G, *) $ est un sous-groupe engendré par un seul élément $ g \in G $ : $$ \langle g \rangle = \{ g^n \ | \ n \in \mathbb{Z} \} $$ On appelle cet élément $ g $ le générateur du sous-groupe cyclique.

Autrement dit, à partir de l’opération $ * $ du groupe et d’un élément $ g $, on peut construire un sous-groupe $ \langle g \rangle $ composé de tous les éléments obtenus en combinant $ g $ avec lui-même un certain nombre de fois, selon la loi du groupe.

Par convention, on note ce sous-groupe cyclique $ \langle g \rangle $ :

$$ \langle g \rangle = \{ g^n \ | \ n \in \mathbb{Z} \} $$

Dans cette expression, $ g^n $ représente l’élément $ g $ appliqué à lui-même $ n $ fois, selon l’opération $ * $.

Remarque : Si $ n < 0 $, on utilise l’inverse de $ g $, répété $ |n| $ fois. Si $ n = 0 $, on a $ g^0 = e $, l’élément neutre du groupe. Pour plus d’explications, consultez : comment calculer les puissances d’un élément dans un groupe.

Un sous-groupe cyclique peut être fini ou infini, selon le nombre d’éléments qu’il contient :

Sous-groupe fini
Il est fini s’il existe un entier positif $ n $ tel que $ g^n = e $. Cet entier $ n $ est appelé l’ordre de l’élément $ g $ (et du sous-groupe $ \langle g \rangle $).
Sous-groupe infini
Il est infini lorsqu’aucun entier $ n $ ne satisfait $ g^n = e $. Dans ce cas, on dit que l’ordre de $ g $ est infini, tout comme celui du sous-groupe qu’il engendre.

Exemple concret

Considérons le groupe additif $ (\mathbb{Z}, +) $, c’est-à-dire l’ensemble des entiers muni de l’addition :

$$ (\mathbb{Z}, +) $$

Choisissons $ g = 3 $ comme générateur. Le sous-groupe cyclique engendré par 3, noté $ \langle 3 \rangle $, regroupe alors tous les multiples entiers de 3 :

$$ \langle 3 \rangle = \{ \ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, \ldots \} $$

Ici, « multiplier » le nombre $ 3 $ par un entier $ n $ revient simplement à additionner $ 3 $ à lui-même $ n $ fois.

Le nombre 3 est donc le générateur du sous-groupe cyclique $ \langle 3 \rangle $ dans $ \mathbb{Z} $.

Chaque élément de ce sous-groupe s’obtient en ajoutant ou en retranchant plusieurs fois le nombre 3.

Exemple : Dans le cadre additif, l’expression $ 3^4 $ signifie : $$ 3^4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 $$

Il est important de comprendre que $ g^n $ ne désigne pas une puissance ordinaire, mais la répétition de l’opération du groupe (ici, l’addition) appliquée à l’élément $ g = 3 $.

Si l’exposant est négatif, on additionne l’inverse additif de 3, soit $ -3 $ : $$ 3^{-4} = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12 $$

Et si l’exposant est nul, le résultat correspond à l’élément neutre de l’addition : $$ 3^0 = 0 $$

Le sous-groupe $ \langle 3 \rangle $ est donc l’ensemble de tous les multiples de 3, positifs ou négatifs, et il constitue un sous-groupe de $ (\mathbb{Z}, +) $ :

$$ \langle 3 \rangle = 3 \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z} $$

C’est un sous-groupe cyclique infini, puisqu’il contient une infinité de multiples de 3 dans les deux directions de la droite des entiers.

Ce type de structure est fondamental en algèbre, car il illustre comment un simple élément peut engendrer tout un sous-ensemble stable pour l’opération du groupe.