Homomorphisme de groupes
En algèbre abstraite, un homomorphisme de groupes est une application qui relie deux groupes \( (G, \cdot) \) et \( (H, *) \) de manière à respecter leur structure interne. Autrement dit, il s’agit d’une fonction \( f \): $$ f : G \rightarrow H $$ telle que pour tout couple d’éléments \( a, b \in G \), on ait : $$ f(a \cdot b) = f(a) * f(b) $$
Chaque élément \( g \) du premier groupe \( G \) est donc associé à un élément \( h = f(g) \) du second groupe \( H \) :
$$ \forall \ g \in G \ \Rightarrow \ h = f(g) \in H $$
On appelle cette correspondance un homomorphisme de \( G \) dans \( H \).
Remarque : L’homomorphisme de groupes est un cas particulier d’homomorphisme en algèbre abstraite. Il relie deux ensembles qui possèdent la même structure algébrique, ici celle de groupe.
Si, en outre, chaque élément \( h \in H \) est l’image d’au moins un élément \( g \in G \) par l’application \( f : G \rightarrow H \), autrement dit :
$$ \forall \ h \in H \ \exists \ g \in G \ \ | \ \ h = f(g) $$
alors on dit que \( f \) est un homomorphisme surjectif, et que \( H \) est l’image homomorphe de \( G \).
Exemple concret
Pour mieux comprendre, prenons un exemple simple. Considérons le groupe additif des entiers \( (\mathbb{Z}, +) \) et le groupe multiplicatif des nombres complexes \( (\mathbb{C}, \cdot) \), avec l’unité imaginaire \( i \).
Définissons l’application \( f : n \mapsto i^n \). Cette fonction établit un homomorphisme de \( (\mathbb{Z}, +) \) vers \( (\mathbb{C}, \cdot) \) :
$$ f : n \rightarrow i^n $$
car elle vérifie la propriété essentielle : $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Z} \ \Rightarrow \ f(a + b) = f(a) \cdot f(b) $$
Démonstration
On sait que \( f(n) = i^n \). Ainsi : \( f(a + b) = i^{a + b} \) et \( f(a) \cdot f(b) = i^a \cdot i^b \). Ces deux expressions sont égales, car les puissances de même base s’additionnent : \( i^x \cdot i^y = i^{x + y} \).
Vérification
Pour vérifier, prenons \( a = 3 \) et \( b = 2 \) :
$$ f(3 + 2) = f(3) \cdot f(2) $$
Ce qui donne : \( f(5) = f(3) \cdot f(2) \).
Or, \( f(5) = i^5 \), \( f(3) = i^3 \) et \( f(2) = i^2 \). Substituons :
$$ i^5 = i^3 \cdot i^2 $$
Comme \( i^2 = -1 \), on obtient \( i^5 = i^2 \cdot i^2 \cdot i = (-1) \cdot (-1) \cdot i = i \). L’égalité est donc bien vérifiée :
$$ i = i $$
L’homomorphisme fonctionne pour tout couple d’entiers \( a \) et \( b \).
Propriétés fondamentales
Les homomorphismes de groupes possèdent plusieurs propriétés importantes :
- Ils préservent l’élément neutre : si \( e_G \) est l’élément neutre de \( G \), alors \( f(e_G) = e_H \).
- Ils conservent les inverses : pour tout \( g \in G \), l’inverse de \( g \) est envoyé sur l’inverse de son image, soit \( f(g^{-1}) = [f(g)]^{-1} \).
- L’image d’un groupe cyclique par un homomorphisme est elle aussi un groupe cyclique.
Ces propriétés sont à la base de nombreux théorèmes en théorie des groupes. En particulier, la notion de noyau d’un homomorphisme et le théorème du premier isomorphisme permettent de comprendre comment la structure d’un groupe se reflète dans celle de son image.
