Isomorphisme de groupes
En algèbre abstraite, un isomorphisme entre deux groupes \( (G, \cdot) \) et \( (H, *) \) est une application bijective \( f \) qui relie ces deux structures de manière à conserver leur organisation interne. Autrement dit, pour tout couple d'éléments \( a, b \in G \), on a : $$ f(a \cdot b) = f(a) * f(b) $$ où \( f(a) \) et \( f(b) \) appartiennent à \( H \).
Un isomorphisme est donc un homomorphisme bijectif : il établit une correspondance parfaite entre deux groupes tout en préservant la loi de composition. Cela signifie que, même si les éléments et les opérations semblent différents, leur structure algébrique est fondamentalement la même. L'application inverse existe également et possède les mêmes propriétés :
- homomorphisme du premier groupe vers le second : $$ f : G \rightarrow H $$
- homomorphisme inverse : $$ f^{-1} : H \rightarrow G $$
Un exemple concret
Prenons la fonction exponentielle :
$$ f(x) = e^x $$
Considérons le groupe additif des nombres réels :
$$ (\mathbb{R}, +) $$
et le groupe multiplicatif des réels strictement positifs :
$$ (\mathbb{R}^+, \cdot) $$
Ces deux groupes, \( (\mathbb{R}, +) \) et \( (\mathbb{R}^+, \cdot) \), sont isomorphes grâce à l'application f(x) = e^x, car elle transforme l'addition en multiplication :
$$ \forall \ a, b \in \mathbb{R}, \quad e^{a + b} = e^a \cdot e^b $$
La fonction inverse, le logarithme népérien, conserve la même cohérence :
$$ \forall \ a, b \in \mathbb{R}^+, \quad \ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) $$
On voit donc que la fonction exponentielle établit une correspondance parfaite entre le monde de l'addition et celui de la multiplication. Le logarithme joue le rôle inverse, traduisant la multiplication en addition. Ces deux opérations sont ainsi liées par un véritable pont algébrique : l'isomorphisme.
Comprendre les isomorphismes permet de reconnaître, derrière des formes différentes, une même structure mathématique. C'est l'une des idées fondamentales de l'algèbre moderne.
