Exemples résolus de théorie des groupes
Les exemples suivants illustrent concrètement la vérification des axiomes fondamentaux de la théorie des groupes.
Exercice 1
L'ensemble fini \( A = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} \) constitue-t-il un groupe pour l'addition des entiers (+) ?
Pour le déterminer, examinons si l'ensemble \( A \), muni de l'addition, satisfait les quatre axiomes caractéristiques d'un groupe.
- Associativité
L'addition dans \( A \) est associative : $$ (a + b) + c = a + (b + c), \ \ \forall \ a, b, c \in A $$ - Élément neutre
L'ensemble \( A \) contient l'élément neutre additif \( 0 \). Pour tout \( a \in A \) : $$ a + 0 = 0 + a = a $$ - Élément inverse
Chaque élément de \( A \) possède son opposé dans \( A \). Par exemple : $$ 1 + (-1) = 0, \quad 2 + (-2) = 0, \quad 3 + (-3) = 0, \quad 0 + 0 = 0 $$ - Clôture
L'ensemble \( A \) n'est pas stable par addition. Pour que \( A \) soit un groupe pour l'addition, la somme de deux éléments quelconques de \( A \) devrait encore appartenir à \( A \), ce qui n'est pas le cas. Par exemple : $$ 3 + 1 = 4 \notin A $$
Les trois premiers axiomes sont vérifiés, mais la propriété de clôture n'est pas satisfaite, car l'addition est ici l'addition usuelle des entiers.
Remarque : Il s'agit de l'addition ordinaire, et non d'une addition définie modulo un entier.
Conclusion
Par conséquent, l'ensemble \( A \) ne forme pas un groupe pour l'addition des entiers.
Exercice 2
L'ensemble des entiers \( \mathbb{Z} \) forme-t-il un groupe pour la multiplication ?
Vérifions successivement les axiomes de groupe.
- Clôture
\( \mathbb{Z} \) est stable par multiplication : le produit de deux entiers est toujours un entier. $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Z}, \ \Rightarrow \ a \cdot b \in \mathbb{Z} $$ - Associativité
La multiplication dans \( \mathbb{Z} \) est associative : $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \ \ \forall \ a, b, c \in \mathbb{Z} $$ - Élément neutre
Le nombre \( 1 \) joue le rôle d'élément neutre multiplicatif : $$ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a $$ - Élément inverse
Tous les entiers n'admettent pas d'inverse multiplicatif dans \( \mathbb{Z} \). Par exemple, l'inverse multiplicatif de \( 3 \) serait \( \frac{1}{3} \), qui n'appartient pas à \( \mathbb{Z} \) : $$ 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 $$ L'axiome d'existence d'un inverse n'est donc pas vérifié.
Conclusion
En conséquence, \( \mathbb{Z} \) ne constitue pas un groupe pour la multiplication.
Exercice 3
L'ensemble des entiers \( \mathbb{Z} \) est-il un groupe pour l'addition ?
Vérifions maintenant chacun des axiomes.
- Clôture
\( \mathbb{Z} \) est stable par addition : la somme de deux entiers est toujours un entier. $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Z}, \ \Rightarrow \ a + b \in \mathbb{Z} $$ - Associativité
L'addition dans \( \mathbb{Z} \) est associative : $$ (a + b) + c = a + (b + c), \ \ \forall \ a, b, c \in \mathbb{Z} $$ - Élément neutre
Le nombre \( 0 \) est l'élément neutre additif : $$ a + 0 = 0 + a = a $$ pour tout \( a \in \mathbb{Z} \). - Élément inverse
Chaque entier \( a \) admet pour inverse additif son opposé \( -a \), qui appartient également à \( \mathbb{Z} \) : $$ a + (-a) = (-a) + a = 0 $$
Tous les axiomes de groupe sont donc satisfaits.
Conclusion
L'ensemble \( \mathbb{Z} \), muni de l'addition, constitue un groupe \( (\mathbb{Z}, +) \).
Exercice 4
L'ensemble \( A = \{ 1, -1, i, -i \} \), formé de quatre nombres complexes, est-il un groupe pour la multiplication ?
Vérifions les axiomes un à un.
- Clôture
La multiplication est stable dans \( A = \{ 1, -1, i, -i \} \) : $$ \forall \ a, b \in A, \ \Rightarrow \ a \cdot b \in A $$Vérification. Rappelons que \( i^2 = -1 \).
$$ 1 \cdot 1 = 1 \in A $$ $$ 1 \cdot (-1) = -1 \in A $$ $$ (-1) \cdot (-1) = 1 \in A $$ $$ i \cdot i = i^2 = -1 \in A $$ $$ i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1 \in A $$ $$ (-i) \cdot (-i) = i^2 = -1 \in A $$ $$ 1 \cdot i = i \in A $$ $$ (-1) \cdot i = -i \in A $$ - Associativité
La multiplication des nombres complexes est associative : $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \ \ \forall \ a, b, c \in A $$ - Élément neutre
L'ensemble \( A \) contient l'élément neutre multiplicatif \( 1 \) : $$ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a, \ \ \forall \ a \in A $$ - Élément inverse
Chaque élément de \( A \) admet un inverse multiplicatif dans \( A \), tel que : $$ a \cdot a^{-1} = 1, \ \ \forall \ a \in A $$Vérification.
Inverse de \( 1 \) : $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ Inverse de \( -1 \) : $$ (-1) \cdot (-1) = 1 $$ Inverse de \( i \) : $$ i \cdot (-i) = 1 $$ Inverse de \( -i \) : $$ (-i) \cdot i = 1 $$
Tous les axiomes du groupe sont vérifiés.
Conclusion
L'ensemble \( A \), muni de la multiplication, constitue un groupe \( (A, \cdot) \).
Exercice 5
L'ensemble fini \( \mathbb{Z}_8 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) forme-t-il un groupe pour l'addition modulo 8 \( (+_8) \) ?
- Clôture
L'addition modulo 8 est une opération fermée dans \( \mathbb{Z}_8 \) : la somme de deux éléments quelconques de \( \mathbb{Z}_8 \), calculée modulo 8, appartient toujours à \( \mathbb{Z}_8 \). La table de Cayley correspondante est présentée ci-dessous :
a +8 b 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1 3 3 4 5 6 7 0 1 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4 6 6 7 0 1 2 3 4 5 7 7 0 1 2 3 4 5 6 - Associativité
L'addition modulo 8 est associative : $$ (a + b) + c \equiv a + (b + c) \pmod{8}, \ \ \forall \ a, b, c \in \mathbb{Z}_8 $$ - Élément neutre
L'ensemble \( \mathbb{Z}_8 \) contient un élément neutre pour l'addition, à savoir \( 0 \) : $$ a + 0 \equiv 0 + a \equiv a \pmod{8}, \ \ \forall \ a \in \mathbb{Z}_8 $$ - Élément inverse
Chaque élément \( a \in \mathbb{Z}_8 \) possède un inverse additif \( a^{-1} \in \mathbb{Z}_8 \) tel que : $$ a + a^{-1} \equiv 0 \pmod{8} $$Exemple.
L'inverse additif de \( a = 7 \) est \( a^{-1} = 1 \), puisque : $$ 7 +_8 1 = 0 $$ L'inverse de \( a = 6 \) est \( a^{-1} = 2 \), car : $$ 6 +_8 2 = 0 $$ De même, \( 5^{-1} = 3 \) et \( 4^{-1} = 4 \), puisque \( 4 +_8 4 = 0 \).
Tous les axiomes de groupe sont satisfaits : l'opération est fermée, associative, possède un élément neutre et tout élément admet un inverse.
Conclusion
On conclut que l'ensemble fini \( \mathbb{Z}_8 \), muni de l'addition modulo 8, forme bien un groupe additif fini noté \( (\mathbb{Z}_8, +_8) \). Ce groupe est commutatif, puisque l'addition modulaire est une opération abélienne.
Exercice 6
Déterminer les sous-groupes propres et impropres du groupe multiplicatif \( (S, \cdot) \), où \( S = \{ 1, -1, i, -i \} \) est constitué de quatre nombres complexes.
Le groupe multiplicatif \( (S, \cdot) \) est défini sur l'ensemble suivant :
$$ S = \{ 1, -1, i, -i \} $$
Ici, \( i \) désigne l'unité imaginaire dans le corps des nombres complexes.
Commençons par lister tous les sous-ensembles de \( S \), c'est-à-dire son ensemble des parties.
Comme première étape, nous écartons les sous-ensembles \( S' \subseteq S \) qui ne contiennent pas l'élément neutre \( u = 1 \), car un sous-ensemble dépourvu de l'élément neutre ne peut pas constituer un sous-groupe de \( (S, \cdot) \).
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Remarque |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S' = {1, -1, i, -i} | |
| * | * | * | S' = {1, -1, i} | ||
| * | * | * | S' = {1, -1, -i} | ||
| * | * | S' = {1, -1} | |||
| * | * | * | S' = {1, i, -i} | ||
| * | * | S' = {1, i} | |||
| * | * | S' = {1, -i} | |||
| * | S' = {1} | ||||
| * | * | * | S' = {-1, i, -i} | ne contient pas l'élément neutre \( u = 1 \) | |
| * | * | S' = {-1, i} | ne contient pas l'élément neutre \( u = 1 \) | ||
| * | * | S' = {-1, -i} | ne contient pas l'élément neutre \( u = 1 \) | ||
| * | S' = {-1} | ne contient pas l'élément neutre \( u = 1 \) | |||
| * | * | S' = {i, -i} | ne contient pas l'élément neutre \( u = 1 \) | ||
| * | S' = {i} | ne contient pas l'élément neutre \( u = 1 \) | |||
| * | S' = {-i} | ne contient pas l'élément neutre \( u = 1 \) | |||
| S' = {} | ensemble vide, sans élément neutre |
Nous identifions ensuite les sous-groupes impropres : le groupe complet \( S' = S \) et le sous-groupe trivial \( S' = \{ 1 \} \).
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Remarque |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S' = {1, -1, i, -i} | sous-groupe impropre \( S' = S \) |
| * | * | S' = {1, -1} | |||
| * | S' = {1} | sous-groupe trivial \( S' = \{ u \} = \{ 1 \} \) |
Vérifions à présent lesquels de ces sous-ensembles sont effectivement fermés pour la multiplication. Sachant que \( i^2 = -1 \), nous examinons le critère de clôture pour chaque cas :
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Remarque |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S' = {1, -1, i, -i} | sous-groupe impropre \( S' = S \) |
| * | * | * | S' = {1, -1, i} | (-1)⋅i = -i ∉ {1, -1, i} | |
| * | * | * | S' = {1, -1, -i} | (-1)⋅(-i) = i ∉ {1, -1, -i} | |
| * | * | S' = {1, -1} | |||
| * | * | * | S' = {1, i, -i} | i⋅i = i² = -1 ∉ {1, i, -i} | |
| * | * | S' = {1, i} | i⋅i = -1 ∉ {1, i} | ||
| * | * | S' = {1, -i} | (-i)⋅(-i) = i² = -1 ∉ {1, -i} | ||
| * | S' = {1} | sous-groupe trivial \( S' = \{ u \} = \{ 1 \} \) |
Concentrons-nous maintenant sur le sous-ensemble \( S' = \{ 1, -1 \} \) pour vérifier s'il constitue effectivement un sous-groupe.
- \( S' = \{ 1, -1 \} \) contient l'élément neutre \( u = 1 \).
- \( S' = \{ 1, -1 \} \) est fermé pour la multiplication.
Vérifions ensuite les autres axiomes du groupe :
- Chaque élément de \( S' \) admet un inverse dans \( S' \) : $$ 1 \cdot 1 = 1 = u $$ $$ (-1) \cdot (-1) = 1 = u $$
- La multiplication est associative dans \( S' \) : $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \ \forall \ a, b, c \in \{ 1, -1 \} $$
Tous les axiomes de groupe sont donc respectés.
On en déduit que le sous-ensemble \( S' = \{ 1, -1 \} \) est un sous-groupe propre de \( (S, \cdot) \).
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Remarque |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S' = {1, -1, i, -i} | sous-groupe impropre \( S' = S \) de \( (S, \cdot) \) |
| * | * | S' = {1, -1} | sous-groupe propre de \( (S, \cdot) \) | ||
| * | S' = {1} | sous-groupe trivial \( S' = \{ u \} = \{ 1 \} \) de \( (S, \cdot) \) |
Conclusion
Le groupe multiplicatif \( (S, \cdot) \) possède exactement trois sous-groupes : le sous-groupe trivial, le sous-groupe propre \( \{ 1, -1 \} \), et le groupe lui-même \( S \). Les deux derniers sont dits impropres.
Exercice 6bis
Déterminer les générateurs du groupe cyclique \( (\mathbb{Z}_8, +_8) \), où \( \mathbb{Z}_8 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \), muni de l'addition modulo 8.
Examinons les sous-groupes cycliques engendrés par chaque élément de \( \mathbb{Z}_8 \) :
| Élément x | Sous-groupe engendré par x | Ordre de x |
|---|---|---|
| <0> | { 0 } | 1 |
| <1> | { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } | 8 |
| <2> | { 0, 2, 4, 6 } | 4 |
| <3> | { 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 } | 8 |
| <4> | { 0, 4 } | 2 |
| <5> | { 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 } | 8 |
| <6> | { 6, 4, 2, 0 } | 4 |
| <7> | { 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 } | 8 |
On observe que les éléments 1, 3, 5 et 7 engendrent l'ensemble tout entier \( \mathbb{Z}_8 \). Ces éléments sont donc les générateurs du groupe cyclique \( (\mathbb{Z}_8, +_8) \).
- <1> = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } = \( \mathbb{Z}_8 \)
- <3> = { 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 } = \( \mathbb{Z}_8 \)
- <5> = { 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 } = \( \mathbb{Z}_8 \)
- <7> = { 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 } = \( \mathbb{Z}_8 \)
Exercice 7
Déterminer si le groupe symétrique sur l'ensemble \( S = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) est un groupe abélien.
L'ensemble \( S = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) est composé de \( n = 4 \) éléments :
$$ S = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$
Le groupe symétrique \( S_n \) est l'ensemble de toutes les permutations de \( S \), muni de la composition des permutations comme opération de groupe.
L'ensemble \( S_4 \) contient \( n! = 24 \) éléments.
Exemple 1. La permutation \( \sigma_8 = (2, 3, 1, 4) \) peut également s'écrire en notation à deux lignes : $$ \sigma_8 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$ Fonctionnellement : $$ \sigma_8 : S \rightarrow S \\ 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 1 \\ 4 \mapsto 4 $$ Cette permutation correspond à un cycle de longueur 3, noté \( (1\ 2\ 3) \), laissant fixe l'élément 4. Comme il est d'usage, le cycle trivial est omis.
Exemple 2. La permutation \( \sigma_{22} = (3, 4, 1, 2) \) s'écrit : $$ \sigma_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$ soit : $$ \sigma_{22} : S \rightarrow S \\ 1 \mapsto 3 \\ 2 \mapsto 4 \\ 3 \mapsto 1 \\ 4 \mapsto 2 $$ Elle correspond à deux cycles disjoints de longueur 2 : $$ (1\ 3)(2\ 4) $$
L'ensemble des permutations \( S_4 \) forme un groupe symétrique, noté \( (S_4, \circ) \), sous l'opération de composition \( \circ \).
$$ (S_4, \circ) $$
Ici, la composition correspond à la composition de fonctions, notée \( f \circ g = f(g) \), où \( f \) et \( g \) sont des permutations.
Considérons par exemple la composition \( \sigma_3 \circ \sigma_5 = \sigma_3(\sigma_5) \) :
$$ \sigma_3 \circ \sigma_5 = (3, 2, 1, 4) \circ (1, 3, 2, 4) $$
et, en notation à deux lignes :
$$ \sigma_3 \circ \sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
Remarque. En notation cyclique : $$ \sigma_3 \circ \sigma_5 = (1\ 3) \circ (2\ 3) $$
En suivant la règle \( f \circ g = f(g) \), on applique d'abord \( g = \sigma_5 \), puis \( f = \sigma_3 \) :
$$ 1 \rightarrow_g 1 \rightarrow_f 3 $$
$$ 2 \rightarrow_g 3 \rightarrow_f 1 $$
$$ 3 \rightarrow_g 2 \rightarrow_f 2 $$
$$ 4 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 4 $$
On obtient alors la permutation \( (3, 1, 2, 4) \) :
$$ \sigma_3 \circ \sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
Autrement dit : $$ \sigma_3 \circ \sigma_5 = (3, 2, 1, 4) \circ (1, 3, 2, 4) = (3, 1, 2, 4) $$
Remarque. En notation cyclique : $$ \sigma_3 \circ \sigma_5 = (1\ 3) \circ (1\ 3\ 2) $$
La permutation obtenue, \( \sigma_3 \circ \sigma_5 \), correspond à \( (3, 1, 2, 4) \), qui appartient à \( S_n \) : $$ (3, 1, 2, 4) = \sigma_9 \in S_n $$
Pour déterminer si \( (S_n, \circ) \) est un groupe abélien, il faut vérifier si la composition est commutative.
Calculons maintenant la composition inverse \( \sigma_5 \circ \sigma_3 = \sigma_5(\sigma_3) \) :
$$ \sigma_5 \circ \sigma_3 = (1, 3, 2, 4) \circ (3, 2, 1, 4) $$
soit :
$$ \sigma_5 \circ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
En appliquant d'abord \( g = \sigma_3 \), puis \( f = \sigma_5 \) :
$$ 1 \rightarrow_g 3 \rightarrow_f 2 $$
$$ 2 \rightarrow_g 2 \rightarrow_f 3 $$
$$ 3 \rightarrow_g 1 \rightarrow_f 1 $$
$$ 4 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 4 $$
On obtient la permutation \( (2, 3, 1, 4) \) :
$$ \sigma_5 \circ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
Autrement dit : $$ \sigma_5 \circ \sigma_3 = (1, 3, 2, 4) \circ (3, 2, 1, 4) = (2, 3, 1, 4) $$
La permutation obtenue, \( \sigma_5 \circ \sigma_3 \), appartient également à \( S_n \) : $$ (2, 3, 1, 4) = \sigma_8 \in S_n $$
Conclusion
La composition \( \sigma_3 \circ \sigma_5 \) donne \( (3, 1, 2, 4) \), tandis que \( \sigma_5 \circ \sigma_3 \) donne \( (2, 3, 1, 4) \). Comme ces résultats diffèrent, l'opération n'est pas commutative :
$$ \sigma_3 \circ \sigma_5 \ne \sigma_5 \circ \sigma_3 $$
En conclusion, le groupe \( (S_4, \circ) \) n'est pas abélien, car il ne satisfait pas la propriété de commutativité.
Remarque. En fait, tous les groupes symétriques \( S_n \) pour \( n > 2 \) ne sont pas abéliens, c'est-à-dire qu'ils sont non commutatifs.
Exercice 8
Déterminer si le groupe additif \( (\mathbb{R}, +) \) est homomorphe à lui-même par l’application \( f : x \mapsto x^2 \).
$$ f : (\mathbb{R}, +) \rightarrow (\mathbb{R}, +) $$
Un homomorphisme de groupes entre deux groupes \( (G, *) \) et \( (H, \#) \) est une application \( f \) telle que :
$$ f : G \rightarrow H $$
et, pour tout \( a, b \in G \), la propriété suivante est vérifiée :
$$ \forall a,b \in G \Rightarrow f(a * b) = f(a) \# f(b) $$
Dans ce cas, on considère \( f(x) = x^2 \), avec \( G = H = \mathbb{R} \) et la même structure additive \( (\mathbb{R}, +) \).
Les opérations binaires impliquées sont donc \( * = + \) et \( \# = + \).
$$ \forall a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow (a+b)^2 = a^2 + b^2 $$
Or, le carré d’une somme n’est pas égal à la somme des carrés :
$$ (a+b)^2 \ne a^2 + b^2 $$
en réalité :
$$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$
Par conséquent, le groupe additif \( (\mathbb{R}, +) \) n’est pas homomorphe à lui-même sous l’application \( f(x) = x^2 \).
Exercice 9
Déterminer si le groupe additif \( (\mathbb{Z}, +) \) est homomorphe au groupe multiplicatif \( (\mathbb{Z}, \cdot) \) par l’application \( f : x \mapsto i^x \).
où \( i \) désigne l’unité imaginaire du corps des nombres complexes.
$$ f : (\mathbb{Z}, +) \rightarrow (\mathbb{Z}, \cdot) $$
Un homomorphisme de groupes entre deux groupes \( (G, *) \) et \( (H, \#) \) est une fonction \( f \) telle que :
$$ f : G \rightarrow H $$
et, pour tout \( a, b \in G \) :
$$ f(a * b) = f(a) \# f(b) $$
Dans notre cas, \( f(x) = i^x \), avec \( G = \mathbb{Z} \) et \( H = \mathbb{Z} \), et les groupes respectifs \( (\mathbb{Z}, +) \) et \( (\mathbb{Z}, \cdot) \).
Les opérations sont donc \( * = + \) et \( \# = \cdot \).
$$ \forall a,b \in \mathbb{Z} \Rightarrow i^{a+b} = i^a \cdot i^b $$
D’après les propriétés des exposants :
$$ i^{a+b} = i^a \cdot i^b $$
On constate que la condition \( f(a * b) = f(a) \# f(b) \) est bien vérifiée pour tout \( a,b \in \mathbb{Z} \).
Par conséquent, le groupe additif \( (\mathbb{Z}, +) \) est bien homomorphe au groupe multiplicatif \( (\mathbb{Z}, \cdot) \) par l’application \( f(x) = i^x \).
Exemple. Prenons \( a = 2 \) et \( b = 3 \) dans le groupe additif \( (\mathbb{Z}, +) \). Vérifions la propriété :
$$ f(a + b) = f(a) \cdot f(b) $$
La fonction est \( f : x \mapsto i^x \).
$$ i^{(2+3)} = i^2 \cdot i^3 $$
$$ i^5 = i^5 $$
L’égalité est vérifiée - et elle l’est pour tout couple d’entiers \( a \) et \( b \).
Et ainsi de suite.
