Ordre d’un groupe
L’ordre d’un groupe (S,*) désigne le nombre d’éléments présents dans l’ensemble S. Autrement dit, il en mesure la taille, appelée cardinalité, et se note $ |S| $.
Selon les cas, l’ordre d’un groupe peut être fini ou infini. Tout dépend du nombre d’éléments que contient l’ensemble S.
Exemple illustratif
Considérons le groupe (Z8,+8). Il est défini à partir de l’ensemble Z8={0,1,2,3,4,5,6,7}, avec pour opération l’addition modulo 8 (+8).
$$ (Z_8,+_8) $$
Ce groupe est dit fini, car il contient un nombre précis et limité d’éléments.
En observant l’ensemble Z8, on constate qu’il comprend exactement 8 éléments.
On en conclut que l’ordre de ce groupe est égal à 8.
Exemple 2
Le groupe (Z,+) est formé de l’ensemble de tous les entiers relatifs Z, muni de l’addition comme opération.
$$ (Z,+) $$
Dans ce cas, l’ensemble des entiers contient une infinité d’éléments. Le groupe est donc infini.
Son ordre est, par conséquent, infini.
Cette idée s’étend naturellement à de nombreux autres groupes, dont l’ordre dépend toujours du nombre d’éléments constituant l’ensemble de départ.
