Ordre d’un élément dans un groupe
L'ordre d'un élément \(g\) dans un groupe \((G, *)\) est le plus petit entier positif \(r\) tel que \(g^r = e\), où \(e\) désigne l'élément neutre du groupe.
On peut l'interpréter de façon simple. L'ordre d'un élément mesure le nombre de fois où il faut appliquer l'opération du groupe à cet élément pour revenir au point de départ, c'est-à-dire à l'élément neutre. Par exemple:
$$ \underbrace{g*g*\ldots*g}_{r \ fois} = e $$
Comprendre l'ordre d'un élément est essentiel pour analyser la structure des groupes, en particulier des groupes cycliques.
L'ordre d'un élément peut être fini ou infini.
- Ordre fini
Un élément \(g\) a un ordre fini lorsqu'un nombre limité d'itérations suffit pour retrouver l'élément neutre. - Ordre infini
Un élément \(g\) a un ordre infini lorsqu'aucune répétition finie de l'opération ne ramène au neutre.
Remarque: L'ordre dépend à la fois de l'élément et du groupe considéré. Dans un groupe fini, tous les éléments ont nécessairement un ordre fini, compris entre 1 et l'ordre du groupe. Dans un groupe infini, certains éléments peuvent avoir un ordre infini, car aucune suite finie d'opérations ne les ramène au neutre.
Exemple 1. Le groupe des entiers \( (\mathbb{Z}, +) \)
Dans le groupe additif \( \mathbb{Z}, + \), l'élément neutre est \(0\). Si l'on considère l'élément \(1\), l'addition répétée de \(1\) ne donnera jamais \(0\). On en conclut que l'élément \(1\) est d'ordre infini.
Remarque: Le même raisonnement s'applique à l'élément \(2\) et, plus généralement, à tout entier non nul. Le seul élément de \( (\mathbb{Z},+) \) ayant un ordre fini est \(0\), dont l'ordre vaut 1.
Exemple 2. Le groupe \( (\mathbb{Z}_4, +) \)
Observons maintenant le groupe \( \mathbb{Z}_4 \), formé des classes de résidus modulo 4, avec l'addition comme opération.
Son ensemble d'éléments est:
$$ \mathbb{Z}_4 = \{ 0 , 1, 2, 3 \} $$
L'élément \(2\) a pour ordre \(2\), car \(2 + 2 = 4 \equiv 0 \mod 4\), ce qui redonne l'élément neutre:
$$ 2 + 2 = 4 \equiv 0 \mod 4 $$
L'élément \(1\) possède un ordre \(4\). Il faut en effet l'additionner quatre fois pour retrouver le neutre:
$$ 1+1+1+1=4 \equiv 0 \mod 4 $$
Remarque: Comme dans tout groupe, l'élément neutre \(0\) a un ordre égal à 1.
Quelques propriétés utiles
Pour mieux comprendre le rôle de l'ordre d'un élément, voici deux faits importants.
- Si un élément \(g\) a un ordre infini, alors \(g^s\) et \(g^t\) sont toujours distincts dès que \(s\) et \(t\) sont différents. Dans ce cas, le sous-groupe cyclique <g> qu'il engendre est lui aussi infini.
Exemple: Dans \( (\mathbb{Z},+) \), avec \(g = 1\), on obtient \(g^2 = 2\) et \(g^3 = 3\). Chaque itération produit un nouvel élément, ce qui reflète l'ordre infini.
- Si un élément \(g\) a un ordre fini \(n\), alors il engendre un sous-groupe cyclique de \(n\) éléments: $$ <g> = \{ g^0, g^1, ..., g^{\,n-1} \} $$ Ici, \(g^0 = e\). De plus, \(g^s = g^t\) si et seulement si s \equiv t \mod n.
Exemple: Dans le groupe \( (\mathbb{Z}_5,+) \), on vérifie que \(g^3 = 3\) et \(g^8 = 3\) pour \(g = 1\), car \(3 \equiv 8 \mod 5\). Le sous-groupe engendré est donc fini.
L'étude de l'ordre d'un élément permet ainsi de comprendre comment se construisent les sous-groupes et pourquoi certains d'entre eux sont cycliques. C'est un outil essentiel pour explorer la structure interne d'un groupe et préparer l'étude de concepts plus avancés en algèbre.
