Ejercicio 12 sobre una ecuación diferencial de primer orden

Resolvamos paso a paso la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

$$ y' - x \cdot \cos x = 0 $$

Se trata de una ecuación que puede resolverse mediante una integración directa. También puede interpretarse como un caso sencillo de ecuación diferencial de variables separables, de la forma y′ + a(x)g(y) = 0, donde \(a(x) = -x \cdot \cos x\) y \(g(y) = 1\).

Comenzamos despejando la derivada:

$$ y' = x \cdot \cos x $$

Ahora expresamos la derivada con la notación diferencial habitual:

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \cos x $$

Multiplicamos ambos miembros por \(dx\) para separar las variables:

$$ dy = x \cdot \cos(x) \, dx $$

El siguiente paso consiste en integrar ambos miembros de la igualdad:

$$ \int dy = \int x \cdot \cos(x) \, dx $$

La integral del miembro izquierdo es inmediata:

$$ y = \int x \cdot \cos(x) \, dx $$

Para resolver la integral del miembro derecho utilizamos el método de integración por partes. Aplicamos la fórmula

$$ \int f g' = fg - \int f' g $$

Elegimos:

$$ f = x \qquad g' = \cos x $$

Por tanto:

$$ f' = 1 \qquad g = \sin x $$

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, obtenemos:

$$ y = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx $$

$$ y = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx $$

Calculamos ahora la integral restante:

$$ y = x \cdot \sin x - (-\cos x) + c $$

Finalmente:

$$ y = x \cdot \sin x + \cos x + c $$

Por consiguiente, la solución general de la ecuación diferencial es:

$$ \boxed{y = x \cdot \sin x + \cos x + c} $$

Para comprobar que el resultado es correcto, derivamos la solución obtenida:

$$ y' = \frac{d}{dx}\left(x \cdot \sin x + \cos x + c\right) $$

Aplicando la regla del producto y derivando cada término:

$$ y' = \sin x + x \cdot \cos x - \sin x $$

$$ y' = x \cdot \cos x $$

Por último, sustituimos esta expresión en la ecuación diferencial original:

$$ y' - x \cdot \cos x = x \cdot \cos x - x \cdot \cos x = 0 $$

Como se obtiene una identidad verdadera, queda demostrado que la solución hallada satisface la ecuación diferencial.