Ejercicio resuelto de ecuaciones diferenciales: \( y' + 1 = 0 \)

Resolvamos paso a paso la siguiente ecuación diferencial:

$$ y' + 1 = 0 $$

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación es la primera derivada \( y' \).

Es uno de los casos más sencillos que pueden encontrarse en el estudio de las ecuaciones diferenciales, porque su resolución requiere únicamente calcular una integral indefinida.

El primer paso consiste en despejar la derivada:

$$ y' = -1 $$

Una vez aislada la derivada, integramos ambos miembros con respecto a la variable \( x \):

$$ \int y'\, dx = \int -1\, dx $$

También podemos escribirlo como:

$$ \int y'\, dx = - \int 1\, dx $$

Como \( y' = \frac{dy}{dx} \), la integral del miembro izquierdo nos devuelve la función original, acompañada de una constante de integración:

$$ y + c_1 = - \int 1\, dx $$

Calculamos ahora la integral del miembro derecho:

$$ y + c_1 = -x + c_2 $$

Despejando la variable dependiente \( y \), obtenemos:

$$ y = -x + c_2 - c_1 $$

Dado que la diferencia entre dos constantes arbitrarias sigue siendo una constante arbitraria, podemos definir:

$$ c = c_2 - c_1 $$

De esta forma, la solución general de la ecuación diferencial es:

$$ y = -x + c $$

Nota: En la práctica, las constantes de integración que aparecen durante los cálculos se agrupan en una única constante arbitraria. Por ejemplo, si partimos de la expresión $$ y + c_1 = -x + c_2 $$ y despejamos \( y \), obtenemos $$ y = -x + c_2 - c_1 $$ Como \( c_2 - c_1 \) sigue siendo una constante arbitraria, basta con representarla mediante una sola constante \( c \), lo que conduce a la forma habitual de la solución: $$ y = -x + c $$

Geométricamente, esta solución describe una familia de rectas paralelas con pendiente \( -1 \). Cada valor de la constante \( c \) genera una recta diferente dentro de esa familia.