Ejercicio 16 de cálculo integral
Vamos a resolver paso a paso la siguiente integral racional:
$$ \int \frac{x - 2}{x^3 - 7x - 6} \, dx $$
El primer paso consiste en simplificar el integrando. Para ello, comenzamos factorizando el denominador mediante la regla de Ruffini.
Observamos que el polinomio \( x^3 - 7x - 6 \) tiene como raíz \( x = 3 \), por lo que es divisible por \( (x - 3) \).
Realizamos la división:
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & 0 & -7 & -6 \\ 3 & & 3 & 9 & 6 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array} $$
De este cálculo se obtiene la siguiente factorización:
$$ x^3 - 7x - 6 = (x - 3)(x^2 + 3x + 2) $$
El siguiente paso es factorizar el polinomio cuadrático restante:
$$ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) $$
Sustituyendo esta descomposición en la integral original, llegamos a:
$$ \int \frac{x - 2}{(x - 3)(x + 2)(x + 1)} \, dx $$
En este punto aplicamos la descomposición en fracciones parciales, que nos permite escribir el integrando como suma de términos más sencillos:
$$ \frac{x - 2}{(x - 3)(x + 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x + 1} $$
Multiplicamos ambos miembros por el denominador común para eliminar fracciones:
$$ x - 2 = A(x + 2)(x + 1) + B(x - 3)(x + 1) + C(x - 3)(x + 2) $$
Desarrollamos los productos:
$$ A(x^2 + 3x + 2) + B(x^2 - 2x - 3) + C(x^2 - x - 6) $$
Agrupando los términos semejantes se obtiene:
$$ (A + B + C)x^2 + (3A - 2B - C)x + (2A - 3B - 6C) $$
Igualamos ahora estos coeficientes con los del numerador original \( x - 2 \). De este modo se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
- A + B + C = 0
- 3A - 2B - C = 1
- 2A - 3B - 6C = -2
Resolvemos el sistema por sustitución. De la primera ecuación se deduce:
$$ A = -B - C $$
Sustituyendo en las otras dos ecuaciones:
$$ 3(-B - C) - 2B - C = 1 \quad \Rightarrow \quad -5B - 4C = 1 $$
$$ 2(-B - C) - 3B - 6C = -2 \quad \Rightarrow \quad -5B - 8C = -2 $$
Restando la primera ecuación de la segunda:
$$ -4C = -3 \quad \Rightarrow \quad C = \frac{3}{4} $$
Sustituyendo este valor, calculamos \( B \):
$$ -5B - 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad B = -\frac{4}{5} $$
Finalmente, obtenemos \( A \):
$$ A = -B - C = \frac{1}{20} $$
Con estos valores, la integral se reescribe como:
$$ \int \frac{1}{20(x - 3)} - \frac{4}{5(x + 2)} + \frac{3}{4(x + 1)} \, dx $$
Aplicando la linealidad de la integral, integramos término a término:
$$ \frac{1}{20} \int \frac{1}{x - 3} \, dx - \frac{4}{5} \int \frac{1}{x + 2} \, dx + \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 1} \, dx $$
Cada una de estas integrales es inmediata:
- \( \int \frac{1}{x - 3} \, dx = \ln|x - 3| + C \)
- \( \int \frac{1}{x + 2} \, dx = \ln|x + 2| + C \)
- \( \int \frac{1}{x + 1} \, dx = \ln|x + 1| + C \)
Por lo tanto, el resultado final es:
$$ \int \frac{x - 2}{x^3 - 7x - 6} \, dx = \frac{1}{20} \ln|x - 3| - \frac{4}{5} \ln|x + 2| + \frac{3}{4} \ln|x + 1| + C $$
Este procedimiento ilustra cómo la factorización y las fracciones parciales permiten transformar una integral aparentemente compleja en una suma de integrales elementales.
