Ejercicio 9 de cálculo integral
En este ejercicio analizamos paso a paso cómo calcular la siguiente integral racional:
$$ \int \frac{x+2}{x^3 - x^2 - 2x} \, dx $$
La estrategia consiste en transformar la fracción original en una suma de términos más sencillos mediante la descomposición en fracciones parciales.
Observamos primero que el denominador es un polinomio cúbico que se puede factorizar completamente en factores lineales distintos, todos con multiplicidad uno.
Explicación. Cada raíz del polinomio tiene multiplicidad 1, ya que ningún factor de la forma \( (x - r) \) se repite. En efecto: $$ x^3 - x^2 - 2x = x \cdot (x^2 - x - 2) $$ Factorizando el polinomio cuadrático se obtiene: $$ x \cdot (x - 2)(x + 1) $$ Las raíces del denominador son \( r_1 = 0 \), \( r_2 = -1 \) y \( r_3 = 2 \). Todas ellas son raíces simples.
En esta situación, podemos aplicar directamente la descomposición en fracciones parciales:
$$ \frac{x+2}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 1} $$
donde \( A \), \( B \) y \( C \) son constantes reales que debemos determinar.
Para encontrarlas, eliminamos el denominador común multiplicando ambos lados por \( x(x - 2)(x + 1) \):
$$ \frac{x+2}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2)}{x(x - 2)(x + 1)} $$
Desarrollamos ahora el numerador del segundo miembro:
$$ A(x^2 - x - 2) + B(x^2 + x) + C(x^2 - 2x) $$
Agrupando términos semejantes se obtiene:
$$ (A + B + C)x^2 + (B - A - 2C)x - 2A $$
Igualamos este polinomio con el numerador original y comparamos coeficientes término a término. De este modo se obtiene el sistema:
$$ \begin{cases} A + B + C = 0 \\ B - A - 2C = 1 \\ -2A = 2 \end{cases} $$
Explicación. El numerador original es \( x + 2 \), por lo que no contiene término en \( x^2 \). Esto implica que el coeficiente de \( x^2 \) debe ser cero. El mismo razonamiento se aplica al término lineal y al término independiente.
Resolvemos el sistema de forma sencilla. De la tercera ecuación se obtiene inmediatamente:
$$ A = -1 $$
Sustituyendo este valor en las dos primeras ecuaciones:
$$ \begin{cases} -1 + B + C = 0 \Rightarrow B + C = 1 \\ B + 1 - 2C = 1 \Rightarrow B - 2C = 0 \end{cases} $$
De la segunda ecuación se deduce que \( B = 2C \). Al sustituir en la primera:
$$ 2C + C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{3}, \quad B = \frac{2}{3} $$
Por tanto, los valores buscados son:
$$ A = -1, \quad B = \frac{2}{3}, \quad C = \frac{1}{3} $$
Introduciendo estos valores en la descomposición en fracciones parciales se obtiene:
$$ \frac{x + 2}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{-1}{x} + \frac{2/3}{x - 2} + \frac{1/3}{x + 1} $$
De este modo, la integral original puede escribirse como:
$$ \int \frac{x+2}{x^3 - x^2 - 2x} \, dx = \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{2/3}{x - 2} + \frac{1/3}{x + 1} \right) dx $$
Esto permite descomponer el problema en una suma de integrales elementales:
$$ -\int \frac{1}{x} \, dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 2} \, dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} \, dx $$
Cada una de estas integrales se calcula de forma directa:
- \( \int \frac{1}{x} \, dx = \log |x| + c \)
- \( \int \frac{1}{x - 2} \, dx = \log |x - 2| + c \)
- \( \int \frac{1}{x + 1} \, dx = \log |x + 1| + c \)
Reuniendo todos los resultados, una primitiva de la función inicial es:
$$ \frac{2}{3} \log |x - 2| + \frac{1}{3} \log |x + 1| - \log |x| + c $$
Este es el resultado final.
Y así sucesivamente.
