Ejercicio de integración 1

Vamos a calcular la siguiente integral paso a paso:

$$ \int e^{5x} \, dx $$

Para resolverla de forma sencilla, utilizamos el método de sustitución, una técnica muy habitual en el cálculo integral.

Comenzamos introduciendo una sustitución que nos permita simplificar el exponente:

$$ t = 5x $$

Derivamos ambos miembros de la igualdad:

$$ dt = 5 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{1}{5} \, dt $$

Ahora expresamos la integral original en función de la nueva variable \( t \):

$$ \int e^t \, dx = \int e^t \cdot \frac{1}{5} \, dt $$

El factor constante puede sacarse fuera del signo integral:

$$ \frac{1}{5} \int e^t \, dt $$

La integral que aparece es inmediata, ya que se trata de la función exponencial:

\( \int e^t \, dt = e^t + C \)

Por tanto, obtenemos:

$$ \frac{1}{5} e^t + C $$

Finalmente, sustituimos la variable auxiliar por su expresión original \( t = 5x \):

$$ \frac{1}{5} e^{5x} + C $$

Este es el resultado final de la integral.