Ejercicio de integración 13

En este ejercicio vamos a calcular la siguiente integral indefinida:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $$

El primer paso consiste en aplicar la propiedad de linealidad de la integral, que permite separar la integral de una diferencia como la diferencia de dos integrales:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx $$

Para facilitar el cálculo de la primera integral, reescribimos el integrando utilizando la notación exponencial:

$$ \int x^{-1/2} \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx $$

En este punto, ambas integrales son elementales y pueden resolverse directamente con las primitivas conocidas.

La primera se calcula aplicando la regla de la potencia:

$$ \left[ \frac{x^{1/2}}{1/2} \right] + c - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx $$

$$ = 2\sqrt{x} + c - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx $$

La segunda integral es una primitiva clásica, asociada a la función arcoseno:

$$ 2\sqrt{x} + c - \arcsin x $$

Al reunir los términos obtenidos, llegamos al resultado final de la integral:

$$ 2\sqrt{x} - \arcsin x + c $$

Con esto se completa el desarrollo del ejercicio.