Ejercicio de integración 21

En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral:

$$ \int \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}} \ dx $$

La resolución es sencilla si aplicamos el método de sustitución. Para ello introducimos la variable auxiliar \( t = e^{\sqrt{2x+1}} \), que permite simplificar notablemente la expresión.

Derivamos \( t \) con respecto a \( x \) utilizando la regla de la cadena:

$$ dt = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 \cdot e^{\sqrt{2x+1}} \ dx $$

Esta expresión se simplifica directamente en:

$$ dt = \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}} \ dx $$

A partir de aquí, despejamos \( dx \):

$$ dx = \frac{\sqrt{2x+1}}{e^{\sqrt{2x+1}}} \ dt $$

Sustituimos ahora esta expresión de \( dx \) en la integral original:

$$ \int \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}} \cdot \frac{\sqrt{2x+1}}{e^{\sqrt{2x+1}}} \ dt $$

Los factores exponenciales y las raíces cuadradas se cancelan entre sí, dejando una integral elemental:

$$ \int 1 \ dt $$

cuya integración es inmediata:

$$ t + c $$

donde \( c \) es la constante de integración.

Por último, recordamos la sustitución inicial \( t = e^{\sqrt{2x+1}} \) y volvemos a la variable original:

$$ \int \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}} \ dx = e^{\sqrt{2x+1}} + c $$

Con esto obtenemos el resultado final de la integral.