Ejercicio de integración 25

En este ejercicio vamos a calcular la siguiente integral, que puede resolverse de forma directa mediante un cambio de variable adecuado:

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \log^2 x}} \ dx $$

Observamos que en el integrando aparece la expresión \( \log x \) junto con su derivada. Por este motivo, resulta natural introducir un cambio de variable diferencial basado en \( \log x \):

$$ d(\log x) = \frac{1}{x} \ dx $$

Para aislar la expresión de \( dx \), multiplicamos ambos miembros de la igualdad por \( x \), aprovechando la invariancia de las ecuaciones:

$$ x \cdot d(\log x) = \frac{1}{x} \cdot dx \cdot x $$

De donde se obtiene directamente:

$$ dx = x \cdot d(\log x) $$

Sustituimos ahora dx = x · d(log x) en la integral original:

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \log^2 x}} \cdot \left( x \cdot d(\log x) \right) $$

Los factores \( x \) se cancelan, lo que simplifica notablemente la expresión y nos deja con:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1 - \log^2 x}} \cdot d(\log x) $$

Introducimos a continuación el cambio de variable \( t = \log x \), con lo que la integral adopta una forma estándar:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \ dt $$

Esta integral es elemental y su primitiva es bien conocida. Corresponde a la función arco seno:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \ dt = \arcsin(t) + c $$

Finalmente, deshacemos el cambio de variable y volvemos a la variable original, sustituyendo \( t = \log x \):

$$ \arcsin(\log x) + c $$

En conclusión, el resultado de la integral es:

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \log^2 x}} \ dx = \arcsin(\log x) + c $$

De este modo queda resuelto el ejercicio de forma clara y sistemática.