Ejercicio de integración 33
Vamos a resolver paso a paso la siguiente integral:
$$ \int \frac{e^{2x}}{3 - e^x} \ dx $$
El primer paso consiste en reescribir el integrando utilizando las propiedades de las potencias:
$$ \int \frac{e^x \cdot e^x}{3 - e^x} \ dx = \int \frac{e^x}{3 - e^x} \cdot e^x \ dx $$
De este modo, la expresión queda preparada para aplicar el método de sustitución.
Definimos la variable auxiliar \( u = e^x \). En consecuencia, su diferencial es:
$$ du = e^x \ dx $$
Esto nos permite sustituir directamente \( e^x \ dx \) por \( du \):
$$ \int \frac{e^x}{3 - e^x} \cdot e^x \ dx = \int \frac{e^x}{3 - e^x} \ du $$
Al introducir la sustitución \( u = e^x \), la integral se transforma en:
$$ \int \frac{u}{3 - u} \ du $$
Para simplificar el integrando, extraemos un signo menos del denominador:
$$ = - \int \frac{-u}{3 - u} \ du $$
A continuación, reescribimos el numerador sumando y restando 3:
$$ = - \int \frac{-u + 3 - 3}{3 - u} \ du $$
Esto permite descomponer la integral en dos términos más sencillos:
$$ = - \int \left( \frac{-3}{3 - u} + \frac{3 - u}{3 - u} \right) du $$
$$ = - \left[ \int \frac{-3}{3 - u} \ du + \int 1 \ du \right] $$
La segunda integral es inmediata:
$$ \int 1 \ du = u $$
Por tanto, la expresión se reduce a:
$$ - \left[ -3 \int \frac{1}{3 - u} \ du + u \right] + c $$
Para calcular la integral restante, realizamos el cambio de variable \( t = 3 - u \), de donde se obtiene:
$$ dt = -du \quad \Rightarrow \quad du = -dt $$
Al sustituir, resulta:
$$ - \left[ -3 \int \frac{1}{t} \cdot (-1) \ dt + u \right] + c $$
$$ = - \left[ 3 \int \frac{1}{t} \ dt + u \right] + c $$
La integral de \( 1/t \) es el logaritmo natural:
$$ \int \frac{1}{t} \ dt = \log |t| $$
Por consiguiente, se obtiene:
$$ - \left[ 3 \log |t| + u \right] + c $$
Volviendo a la variable original, con \( t = 3 - u \):
$$ - \left[ 3 \log |3 - u| + u \right] + c $$
Lo que se simplifica finalmente como:
$$ -3 \log |3 - u| - u + c $$
Por último, al sustituir \( u = e^x \), se obtiene la expresión final de la integral:
$$ -3 \log |3 - e^x| - e^x + c $$
Con esto queda completamente resuelta la integral.
