Ejercicio de integrales 18

Se plantea el cálculo de la siguiente integral:

$$ \int \frac{1}{2 + x^2} \ dx $$

Esta integral puede resolverse recurriendo a distintos métodos de integración.

Método 1

Comenzamos factorizando la constante 2 en el denominador:

$$ \int \frac{1}{2 \cdot \left(1 + \frac{x^2}{2} \right)} \ dx $$

lo que permite escribir la integral como:

$$ \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \frac{x^2}{2}} \ dx $$

Al reconocer la presencia de un término cuadrático en el denominador, la expresión puede reescribirse en la forma:

$$ \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)^2} \ dx $$

Aplicamos a continuación el método de sustitución.

Sea u = x / √2, de donde se obtiene:

$$ du = \frac{1}{\sqrt{2}} \ dx \quad \Rightarrow \quad dx = \sqrt{2} \ du $$

Sustituyendo en la integral, resulta:

$$ \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \sqrt{2} \ du $$

Extraemos la constante $ \sqrt{2} $ fuera del signo integral:

$$ \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{1 + u^2} \ du $$

Procedemos ahora a simplificar el coeficiente:

$$ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Por tanto, la integral se reduce a:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{1 + u^2} \ du $$

Esta es una integral elemental bien conocida, ya que:

∫ 1 / (1 + u²) du = arctan(u) + C

En consecuencia, se obtiene:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(u) + C $$

Sustituyendo finalmente $ u = \frac{x}{\sqrt{2}} $, se llega a:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C $$

Esta expresión constituye el resultado final.

Un enfoque más directo consiste en identificar la integral como un caso estándar y aplicar de inmediato la fórmula correspondiente.

Partimos de:

$$ \int \frac{1}{2 + x^2} \ dx $$

Obsérvese que el denominador puede escribirse como:

$$ 2 + x^2 = (\sqrt{2})^2 + x^2 = a^2 + x^2 $$

Aplicamos entonces la identidad estándar para integrales del tipo:

$$ \int \frac{1}{a^2 + x^2} \ dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $$

donde $ C $ es la constante de integración.

En este caso, $ a = \sqrt{2} $, por lo que se obtiene directamente:

$$ \int \frac{1}{2 + x^2} \ dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C $$

De este modo se alcanza el mismo resultado de forma más rápida y eficiente.

Y así sucesivamente.